Stochastische Unabhängigkeit eines Produktes

Neue Frage »

HUba Auf diesen Beitrag antworten »
Stochastische Unabhängigkeit eines Produktes
Meine Frage:
Wenn X_t , t=1,2.. u.i.v. ZV sind und Y_t, t=1,2,... ebenfalls sowie X_t unabhängig von Y_t wie zeige ich, dass Z_t:=X_t*Y_t unabhängig ist?
Sagen wir mal ZV sind diskret die die Werte 1 und -1 mit W'keit 1/2.


Meine Ideen:
Für die Unabhängigkeit von Z muss gelten

IP(Z_t = z_t , Z_s=z_s) = IP(Z_t = z_t) IP(Z_s=z_s).

Einsetzen

IP(X_t*Y_t = x_t*y_t , X_s*Y_s=x_s*y_s) = IP(X_t = x_t, Y_t=y_t , X_s=x_s, Y_s=y_s)= IP(X_t = x_t) IP(Y_t=y_t) IP(X_s=x_s) IP(Y_s=y_s)=...

das ist Falsch! aber was vergesse ich hierbei? geht das überhaupt in die richtige Richtung?

Bertachten wir exemplarisch mal das Ereigniss

{Z_t=1} = ({X_t=1}n{Y_t=1})U({X_t=-1}n{Y_t=-1})
= ({X_t=1}u{Y_t=-1}) n ({Y_t=1}u{X_t=-1}) (analog für Z_s)

Kann ich damit jetzt sagen :

IP(Z_t = z_t , Z_s=z_s)
= IP(({X_t=1}u{Y_t=-1}) n ({Y_t=1}u{X_t=-1}) n ({X_s=1}u{Y_s=-1}) n ({Y_s=1}u{X_s=-1}))
=IP(({X_t=1}u{Y_t=-1}) n ({Y_t=1}u{X_t=-1})) * IP(({X_s=1}u{Y_s=-1}) n ({Y_s=1}u{X_s=-1}))
=IP(Z_t = z_t) IP(Z_s=z_s) ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich kann man das in einem viel, viel größerem Kontext sehen, und dabei muss man nicht mal konkret rechnen:

Zitat:
Es sei eine Familie von Sigma-Algebren über , dabei muss Indexmenge nicht mal abzählbar sein. Beispielsweise (etwa für deinen Kontext) kann man wählen, also die von der Zufallsgröße erzeugte Sigma-Algebra (hierbei kennzeichne die Borel-Sigma-Algebra des ).

Nun sei mit paarweise disjunkten Indexmengen . Dann gilt:

Ist unabhängig, dann ist auch unabhängig.

Von diesem hohen Ross mal "runtergebrochen" in Richtung deines Spezialfalls:

Sind unabhängig, dann laut Definition auch deren erzeugte Sigma-Algebren , und laut diesem oben zitierten Satz über eine entsprechende Neugruppierung dann aber auch . Haben wir insbesondere dann messbare Funktionen , so bedeutet diese letzte Unabhängigkeit, dass auch die Zufallsgrößen unabhängig sind! Speziell bei dir würde man dann einfach immer dieselbe messbare Funktion verwenden, und ist fertig.

-------------------------------------------

EDIT: Ich hab nochmal über die Formulierung

Zitat:
Original von HUba
Wenn X_t , t=1,2.. u.i.v. ZV sind und Y_t, t=1,2,... ebenfalls sowie X_t unabhängig von Y_t

nachgedacht, die ist an sich schwächer als das, was ich oben benutze. Allerdings ist mit dieser schwächeren Voraussetzung auch deine Satzaussage falsch:

Nehmen wir nur mal u.i.v. wie von dir vorausgesetzt, und definieren nun aber sowie für alle . Dann ist auch u.i.v. und außerdem auch unabhängig für jedes feste . (Was hier in diesem Beispiel aber fehlt, ist die generelle Unabhängigkeit, u.a. auch die paarweise von für ).

Man sieht dann sofort, dass ist. Wenn man die nicht gerade als konstante Zufallsgrößen wählt, bedeutet diese Gleichheit dann aber keine Unabhängigkeit von , d.h. die Behauptung gilt hier für dieses Beispiel nicht.
 
 
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »