Zylindersymmetrische Lösung Poisson-Gleichung

23.04.2018, 14:56

Grph v Mnt Chr

Zylindersymmetrische Lösung Poisson-Gleichung

Meine Frage:
Hallo,

Ich soll die zylindersymmetrische Lösung der Poisson-Gleichung bestimmen.

$\begin{eqnarray*} \triangle\phi= - \frac{\rho}{\epsilon_{0} } \end{eqnarray*}$
Für die Ladungsdichte
$\begin{eqnarray*} \rho(r,\phi,z)= \left\{ \rho_{0}:r\leq R , 0 : r\geq R \right\} \end{eqnarray*}$

Randbedingung $\begin{eqnarray*} \rho(R,\phi,z)=0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Lösung mittels Satz von Gauß und $\begin{eqnarray*} div\vec{E}=\rho/\epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow E(r)= \frac{1}{4\pi \epsilon_{0} } \cdot \frac{q_{l}(r) }{l_{r} } \end{eqnarray*}$

Wie kann ich nun das Potential bestimmen und was spielt die Randbedingung für eine Rolle für meine weiteren Rechnungen?

23.04.2018, 17:27

Huggy

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RE: Zylindersymmetrische Lösung Poisson-Gleichung
Zunächst mal musst du deine Bezeichnungen in Ordnung bringen. Du verwendest $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ sowohl für das Potential als auch für die Wnkelkoordinate. Das geht nicht.

Zitat:

Original von Grph v Mnt Chr
Randbedingung $\begin{eqnarray*} \rho(R,\phi,z)=0 \end{eqnarray*}$

Und das soll wohl eine Randbedingung für das Potential sein und nicht für die Ladungsdichte $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Meine Ideen:Lösung mittels Satz von Gauß und $\begin{eqnarray*} div\vec{E}=\rho/\epsilon \end{eqnarray*}$

Man kann das hinter der Aufgabe stehende Problem zwar mit dem Satz von Gauß lösen. Aber ich interpretiere die Aufgabe so, dass du es eben mit der Poissongleichung lösen sollst und nicht mit Satz von Gauß. Also schreib dir mal die Poissongleichung in Zylinderkoordinaten hin. Wegen der Zylindersymmetrie werden dabei die Ableitungen nach der Winkelkoordinate und nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ Null. Es verbleibt nur eine DGL in $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ . Die ist für die Bereiche $\begin{eqnarray*} r \leq R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r\geq R \end{eqnarray*}$ zu lösen. An der Stelle $\begin{eqnarray*} r=R \end{eqnarray*}$ muss man sich dann Gedanken über die Anschlussbedingungen machen.

Zitat:

was spielt die Randbedingung für eine Rolle für meine weiteren Rechnungen?

Das Potential ist nur bis auf eine Konstante bestimmt. Die Randbedingung legt dafür einen Wert fest.

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