Offenheit und Abgeschlossenheit von Mengen untersuchen

23.04.2018, 15:17

Erebos

Offenheit und Abgeschlossenheit von Mengen untersuchen

Meine Frage:
Untersuchen Sie die folgenden Teilmengen des IR^2 auf Offenheit und Abgeschlossenheit:

$\begin{eqnarray*} (1) A = \mathbb N \times \mathbb Q \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (2) A = \bigcup _{n\in \mathbb N} \left\{ (n, n+1)\times (\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}) \right\} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Zu (1) Ich weiß, dass IN in IR abgeschlossen ist. Das habe ich einfach daraus gefolgert, dass jede konvergente Folge, deren Folgenglieder in IN liegen irgendwann stationär werden muss, weswegen der Grenzwert auf jeden Fall in IN liegt. Q ist in IR weder abgeschlossen noch offen. Es gibt konvergente Folgen in Q, die z.B. gegen sqrt(2) konvergieren und damit nicht in Q liegen. Q ist aber auch nicht offen, da in jedem offenen Intervall um eine bel. rationale Zahl auch immer irrationale Zahlen liegen. Formal hab ich das bewiesen, indem ich mit einer Folge und einer bestimmten Schrittweite in ein solches Intervall reinlaufe.
Was bedeutet das jetzt aber für das kartesische Produkt von IN und Q?

Zu (2) Hier bin ich etwas ratloser als bei der ersten Aufgabe. Ich vermute, dass auch diese Menge weder offen noch abgeschlossen ist. Wir vereinigen zwar kartesische Prdoukte offener Intervalle, aber für n gegen unendlich kriegen wir ja auch ein kartesisches Produkt eines offenen Intervalls mit {0}. Und das wäre dann ja auch wieder nicht offen und nicht abgeschlossen. Formal fällt mir aber nichts ein, wie ich das beweisen könnte.

23.04.2018, 15:48

Erebos

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RE: Offenheit und Abgeschlossenheit von Mengen untersuchen
Ich hatte gerade noch eine Idee bzgl. (2). Ich möchte ja zeigen, dass A weder offen noch abgeschlossen ist. Um zu zeigen, dass A nicht abgeschlossen ist, konstruiere ich einfach eine konvergente Folge, welche in A liegt und zeige, dass der Grenzwert nicht in A liegt. Um zu zeigen, dass A nicht offen ist könnte ich doch ein bel. r>0 wählen und in Abhängigkeit ein n aus den nat. Zahlen wählen, so dass der Ball B(x,r) für hinreichend großes n und alle x aus A nicht mehr in A liegt.

23.04.2018, 17:05

HAL 9000

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Zu (1): $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist abzählbar. Kennst du mit Ausnahme der leeren Menge irgendeine offene abzählbare Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

Hinsichtlich Abgeschlossenheit kannst du doch dein $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ -Gegenbeispiel heranziehen, das musst du lediglich noch eine (konstante) erste Komponente (d.h. die $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ -Komponente) dranheften.

Zitat:

Original von Erebos
Um zu zeigen, dass A nicht offen ist könnte ich doch ein bel. r>0 wählen und in Abhängigkeit ein n aus den nat. Zahlen wählen, so dass der Ball B(x,r) für hinreichend großes n und alle x aus A nicht mehr in A liegt.

Da unterliegst du einer ziemlich krassen Fehleinschätzung:

Offenheit bedeutet, dass es für jedes $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} B(x,r)\subset A \end{eqnarray*}$ gilt, dabei darf $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ durchaus von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängen.

Du hingegen gibst dir ein $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ vor und suchst dann ein $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ , welches $\begin{eqnarray*} B(x,r)\subset A \end{eqnarray*}$ verletzt??? Nein, das passt nicht.

23.04.2018, 17:23

Erebos

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Ich denke, dass wir bzgl. (2) etwas aneinander vorbeireden. Ich meinte in meinem vorigen Post auch nicht für alle x aus A, sondern für min. ein x aus A. Nochmal ausführlicher: Offenheit bedeutet ja, dass für alle x aus A ein r>0 existiert, so dass B(x,r) vollständig in A liegt. Ich will aber zeigen, dass A nicht offen ist, also negiere ich diese Aussage. A ist also nicht offen, wenn für alle r>0 min. ein x aus A ex., so dass B(x,r) nicht mehr vollständig in A enthalten ist. Nun wähle ich in meinem Beweis mein r>0 beliebig und wähle dann in Abhängigkeit von r ein hinreichend großes N, so dass der Ball B(x,r) für min. ein x aus A eben nicht mehr in A liegt. Etwas formaler ausgedrückt:

Sei r>0 beliebig und N aus IN so gewählt, dass $\begin{eqnarray*} | \frac{1}{n} -\frac{1}{n+1} | < r\ \forall n \geq N \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für alle x aus der Menge $\begin{eqnarray*} B = \bigcup _{n\geq N}\left\{ (n, n+1)\times (\frac{1}{n+1} ,\frac{1}{n} )\right\} \end{eqnarray*}$ , dass der Ball B(x,r) nicht vollständig in B liegt. Da B eine echte Teilmenge von A ist, ex. also min. ein x aus A, so dass B(x,r) nicht vollständig in A enthalten ist. Da wir also kein r>0 finden können, so dass der Ball B(x,d) für alle x aus A vollständig in A liegt, kann A nicht offen sein.

23.04.2018, 17:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von Erebos
Ich denke, dass wir bzgl. (2) etwas aneinander vorbeireden.

Denke ich nicht, denn die Menge A in (2) ist offen, womit dein Beweis falsch sein muss.

Zitat:

Original von Erebos
also negiere ich diese Aussage. A ist also nicht offen, wenn für alle r>0 min. ein x aus A ex., so dass B(x,r) nicht mehr vollständig in A enthalten ist.

Unfug: Die korrekte Negation der Offenheit ist, dass es ein $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} B(x,r)\subset A \end{eqnarray*}$ für kein $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ gilt. "You did it again", die Vertauschung der Reihenfolge x <-> r. Forum Kloppe

23.04.2018, 17:34

Erebos

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Ich merke auch gerade, dass ich Offenheit falsch negiert habe. Ich habe lediglich gezeigt, dass für alle r>0 ein x aus A ex., so dass B(x,r) nicht vollständig in A liegt. Ich hätte aber zeigen müssen, dass ein x aus A ex., so dass für alle r>0 gilt, dass B(x,r) nicht in A liegt. Und das kann ich nicht beweisen.

Wie gehe ich jetzt beim Beweis der Offenheit vor. Mir fehlt da gerade irgendwie der Ansatz.

23.04.2018, 17:37

HAL 9000

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Um die Diskussion abzukürzen, beweise ich die Offenheit in einer konstruktiven Weise, d.h., ich gebe zu jedem $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ sogar ein passendes $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ an:

$\begin{eqnarray*} x=(x_1,x_2)\in A \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass es ein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} n<x_1<n+1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1}<x_2<\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ gilt. Nun wählt man einfach

$\begin{eqnarray*} r := \min\left\{ x_1-n, n+1-x_1,x_2-\frac{1}{n+1},\frac{1}{n}-x_2\right\} \end{eqnarray*}$ ,

dann ist $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ als Minimum endlich vieler positiver Werte auch wieder positiv. Dass nun für die offene Kugel $\begin{eqnarray*} B(x,r)\subset A \end{eqnarray*}$ gilt, überlasse ich deiner weisen Einsicht.

23.04.2018, 17:51

Erebos

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Vielen Dank! Wink

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