Faser einer Abbildung, R3--> R2

23.04.2018, 16:30

Samson17

Faser einer Abbildung, R3--> R2

Hallo,

gegeben ist $\begin{eqnarray*} F:\; \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2, \left( \begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{c}x_1+x_3\\x_2\end{array} \right) \end{eqnarray*}$

Der Kern ist klar.

Dieser ist $\begin{eqnarray*} Ker F = \mathbb{R} \left( \begin{array}{c}1\\ 0\\-1\end{array} \right) \end{eqnarray*}$

Das Bild $\begin{eqnarray*} Im F = \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist die Faser.
Ich hätte gedacht, dass man die Faser so angeben kann

$\begin{eqnarray*} F^{-1}((a,b)) =\{(x1,b,x3) \epsilon \mathbb{R}^3: x_1+x_3=a \} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig? Für b kann alles gewählt werden. Wichtig ist nur, dass x1 und x3 a bilden.

Schöne Grüße und Danke,

Samson17

24.04.2018, 07:03

klarsoweit

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RE: Faser einer Abbildung, R3--> R2

Zitat:

Original von Samson17
Ich hätte gedacht, dass man die Faser so angeben kann

$\begin{eqnarray*} F^{-1}((a,b)) =\{(x1,b,x3) \epsilon \mathbb{R}^3: x_1+x_3=a \} \end{eqnarray*}$

Ist das richtig? Für b kann alles gewählt werden. Wichtig ist nur, dass x1 und x3 a bilden.

Die Faser wird für ein beliebiges, aber festes (a, b) betrachtet. Mithin ist das b nicht frei wählbar. Das x3 ergibt sich aus dem x1 über die Gleichung x3 = a - x1 . Somit haben wir:

$\begin{eqnarray*} F^{-1}((a,b)) = \{(x_1,b,a-x_1) \in \mathbb{R}^3\} \end{eqnarray*}$

24.04.2018, 17:41

Samson17

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Danke dir.

Also liegt der einzige Unterschied zu meiner Lösung darin, dass be dir x3 schon klar mit a-x1 benannt ist, was ich als Bedingung in der Menge tue?
Wäre meine Lösung denn auch soweit richtig?

Liebe Grüße

25.04.2018, 06:46

klarsoweit

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RE: Faser einer Abbildung, R3--> R2
Nun ja, man kann es gelten lassen, aber wenn du dann irgendwann dieses schreibst:

$\begin{eqnarray*} F^{-1}((a,b)) = \{(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3: F((x_1, x_2, x_3)) = (a,b)\} \end{eqnarray*}$

dann ist das auch formal korrekt, aber bestimmt nicht im Sinne des Erfinders. smile

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