Periodizität auf dem Kreis

24.04.2018, 16:27	Sabbse92	Auf diesen Beitrag antworten »
Periodizität auf dem Kreis Hallo, man betrachte den Einheitskreis und die Gleichung für die Phase (gibt die Position auf dem Kreis an) $\begin{eqnarray} \phi_{n+1}=\phi_n + 2\pi \frac{T}{T_0} \end{eqnarray}$ In meinem Lehrbuch sagt der Autor, wenn $\begin{eqnarray} \frac{T}{T_0} \end{eqnarray}$ rational ist, also $\begin{eqnarray} \frac{T}{T_0}= \frac{p}{q} \end{eqnarray}$ dann ist jeder Punkt auf dem Einheitskreis periodisch mit Periode q. Falls das Verhältnis irrational ist, ist die Bewegung auf dem Einheitskreis quasiperiodisch. Wie kommt er zu dieser Schlussfolgerung? Gruß Sabbse
25.04.2018, 09:27	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Periodizität auf dem Kreis Es sei $\begin{eqnarray} \phi_0 \end{eqnarray}$ ein beliebiger Punkt auf dem Kreis. Dann gilt: $\begin{eqnarray} \phi_n=\phi_0+2\pi n\frac T {T_0} \end{eqnarray}$ Seine Bewegung ist periodisch, wenn er sich nach einer Anzahl von Iterationen wieder auf derselben Position befindet. Es muss also gelten $\begin{eqnarray} () \quad \phi_n=\phi_0+2\pi m, \; m\in \mathbb N \end{eqnarray}$ weil ja Winkel auf dem Kreis, die sich um Vielfache $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ unterscheiden, dieselbe Position bezeichnen. Nun sei $\begin{eqnarray} T/T_0 =p/q \end{eqnarray}$ rational, dann gilt offenbar für $\begin{eqnarray} n=q \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \phi_n=\phi_0+2\pi q\frac p q=\phi_0+2\pi p \end{eqnarray}$ () ist also erfüllt mit $\begin{eqnarray} m=p \end{eqnarray}$ . Die Bewegung ist periodisch. Quasiperiodisch wird in unterschiedlicher Bedeutung verwendet. Wenn man das irrationale Verhältnis durch eine rationale Zahl annähert, dann ist die Bewegung näherungsweise periodisch mit einer Periode, die sich aus der Näherung ergibt. Das könnte hier gemeint sein.

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