Holomorphe/harmonische Funktionen

24.04.2018, 17:43

Hugo_M28

Holomorphe/harmonische Funktionen

Hallo Leute,

ich habe eine Frage zu folgendem Beispiel. Ich habe die Angabe und die Lösuung, jedoch habe ich überhautpt keinen Plan wie der Rechenweg dazu aussehen sollte.

Angabe:

f(z)= -4sin(x)

Lösungen:
u= -4 cosh(y) sin(x)
v= -4 sinh(y) sin(x)

w = f(z)
w = u + i*v

Bedinung für harmonische u und v ist ja das sie 2 mal stetig differenzierbar sind und bei Anwendung vom Laplace Operator null ergeben.
$\begin{eqnarray*} \frac {d^{2}u} {d x^2} \frac{d^2 u}{d y^2} =0 \end{eqnarray*}$

f(z) ist holomorph wenn es in jedem Punkt differenzierbar ist und die CR-Bedinung erfüllt ist: $\begin{eqnarray*} \frac {du} {dx} =\frac {dv} {dy} \end{eqnarray*}$

Trotz der Theorie verstehe ich nicht wie ich zum ergebnis kommen soll :/ kann mir von euch jemand helfen?

24.04.2018, 18:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von Hugo_M28
f(z)= -4sin(x)

Den weiteren Ausführungen nach zu urteilen, geht es wohl eher um $\begin{eqnarray*} f(z)=-4\sin({\color{red}z}) \end{eqnarray*}$ .

So ohne weiteres kann man das nicht als Schreibfehler abtun - schließlich könntest du ja tatsächlich $\begin{eqnarray*} f(z) = f(x+iy) = -4\sin(x) \end{eqnarray*}$ meinen... Also besser aufpassen.

Zitat:

Original von Hugo_M28
Bedinung für harmonische u und v ist ja das sie 2 mal stetig differenzierbar sind und bei Anwendung vom Laplace Operator null ergeben.
$\begin{eqnarray*} \frac {d^{2}u} {d x^2} \frac{d^2 u}{d y^2} =0 \end{eqnarray*}$

Auch hier: $\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 u} {\partial x^2}~{\color{red}+}~\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} =0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Hugo_M28
f(z) ist holomorph wenn es in jedem Punkt differenzierbar ist und die CR-Bedinung erfüllt ist: $\begin{eqnarray*} \frac {du} {dx} =\frac {dv} {dy} \end{eqnarray*}$

Es gibt noch eine zweite CR-Gleichung - die nicht vergessen!

Wie man die überprüft? Du hast $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ vorliegen, na bilde doch die entsprechenden partiellen Ableitungen nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , dann kannst du doch prüfen, ob die Gleichungen gelten! Oder in Kurzform: "Einsetzen!"

24.04.2018, 19:03

Hugo_M28

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Hallo Hal 9000,

beide male hast du recht. es soll heißen f(z) = -sin(z)

und auch beim Laplace Operator gehört ein + dazwischen.

die zweite Gleichung lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{dy} = -\frac{dv}{dx} \end{eqnarray*}$

wenn ich jz richtig abgeleitet habe:

u"= 4 cosh(y) sin(x) (nach x abgeleitet)
u"= -4 cosh(y) sin(x) (nach y abgeleitet)

(Ja ich weiß bei der Angabe habe ich bei v sin anstatt cos geschrieben)

Wenn ich die beiden jetzt addiere, ergibt das 0, somit is das mit dem Laplace Operator schonmal erfüllt.

Aber wie komme ich auf u und v wenn ich jetzt die Lösung nicht gegeben habe?

24.04.2018, 20:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Hugo_M28
Aber wie komme ich auf u und v wenn ich jetzt die Lösung nicht gegeben habe?

Ach du weißt nicht, wie man die obigen Darstellungen von $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ herleitet? Das war deinem Eröffnungsbeitrag beim besten Willen nicht zu entnehmen. Da klang es so, als hättest du $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ausgerechnet und wüsstest dann nicht, wie es weitergeht. unglücklich

25.04.2018, 09:59

Hugo_M28

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nein leider weiß ich nicht wie das funktioniert. Die lösungen habe ich aber den Rechenweg, bzw wie man dazu kommt nicht :/

Glaubst du, du kannst es mir hier im Forum erklären oder ist das zu lange/umständlich?

25.04.2018, 10:20

HAL 9000

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Hmm, das kommt drauf an was du an Kenntnissen über die komplexen Winkelfunktionen hast, zumindest sollten die Zusammenhänge $\begin{eqnarray*} \cos(iz) = \cosh(z) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \sin(iz) = i\sinh(z) \end{eqnarray*}$ dabei sein.

Desweiteren benötigt man, dass das Additionsheorem $\begin{eqnarray*} \sin(z_1+z_2)=\sin(z_1)\cos(z_2)+\cos(z_1)\sin(z_2) \end{eqnarray*}$ auch für alle komplexen $\begin{eqnarray*} z_1,z_2 \end{eqnarray*}$ gilt. Sollte das nicht bekannt sein, geht es alternativ auch über die Darstellung $\begin{eqnarray*} \sin(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \end{eqnarray*}$ , wobei dort dann die Potenzregel $\begin{eqnarray*} e^{z_1+z_2} = e^{z_1}\cdot e^{z_2} \end{eqnarray*}$ zum Einsatz kommt.

Wie auch immer, mit einer der beiden genannten Methoden wird $\begin{eqnarray*} \sin(x+iy) \end{eqnarray*}$ in die Bestandteile aufgebrochen, die du dann ja in den Darstellungen von $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ siehst.

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