Funktionentheorie: cos(z) = 0

25.04.2018, 14:12

Borel@Cantelli

Funktionentheorie: cos(z) = 0

Hallo,
wir behandeln momentan komplexe Analysis in Analysis IV. Die Übungsaufgabe lautet:

Ist $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , so ex ein $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z = (k + \frac{1}{2})\pi \end{eqnarray*}$

Ich brauche glaube ich etwas Starthilfe Augenzwinkern

Ich habe mir gedacht dass ich die Definition des Cos benutze und dann mit der Reihenentwichklung der Exponentialfkt rechne. Das erscheint mir aber doch sehr umständlich und vielleicht auch als die falsche Idee:

$\begin{eqnarray*} cos(z)=\frac{1}{2}\left(e^{iz} + e^{-iz}\right) = \frac{1}{2} \left( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(iz)^n}{n!} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-iz)^n}{n!}\right) \end{eqnarray*}$

Meinungen? smile

25.04.2018, 14:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von Borel@Cantelli
Die Übungsaufgabe lautet:

Ist $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , so ex ein $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z = (k + \frac{1}{2})\pi \end{eqnarray*}$

Ich hätte angesichts der Threadüberschrift ja eher vermutet, dass sie

Zitat:

Ist $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \cos(z)=0 \end{eqnarray*}$ , so existiert ein $\begin{eqnarray*} {\color{red}k}\in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z = \left(k + \frac{1}{2}\right)\pi \end{eqnarray*}$ .

lautet.

25.04.2018, 14:32

Borel@Cantelli

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Danke! Ich ändere das sofort!

Hat jemand nach der Änderung eine Idee?

LG

25.04.2018, 14:36

Borel@Cantelli

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Also noch mal neu:

Hallo,
wir behandeln momentan komplexe Analysis in Analysis IV. Die Übungsaufgabe lautet:

Ist $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , so ex ein $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z = (k + \frac{1}{2})\pi \end{eqnarray*}$

Ich brauche glaube ich etwas Starthilfe Augenzwinkern

25.04.2018, 14:52

HAL 9000

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Das allein aus der Reihenentwicklung abzuleiten, ist ein langer, langer Weg.

Ich würde das Kosinus-Additionstheorem nutzen (vorher beweisen, falls nötig) und dann die Eigenschaften der reellen Winkel- und Hyperbelfunktionen nutzen hinsichtlich Nullstellen.

25.04.2018, 18:01

Leopold

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Ich hätte noch eine Alternative anzubieten. Sie setzt voraus, daß du schon weißt, wie es sich mit Werten der komplexen Exponentialfunktion verhält, insbesondere mit den Lösungen $\begin{align*} w \end{align*}$ der Gleichung $\begin{align*} \operatorname{e}^w = 1 \end{align*}$ . Sollte das noch nicht bekannt sein, mußt du wohl den von HAL vorgeschlagenen Weg gehen.

$\begin{align*} \cos z = 0 \ \ \Leftrightarrow \ \ \operatorname{e}^{\operatorname{i}z} + \operatorname{e}^{- \operatorname{i}z} = 0 \end{align*}$

Jetzt die Gleichung mit $\begin{align*} \operatorname{e}^{\operatorname{i}z + \operatorname{i} \pi} \end{align*}$ durchmultiplizieren.

25.04.2018, 19:19

HAL 9000

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Ja klar, das ist meinem Weg vorzuziehen. Zumal man bei dem vermutlich auch irgendwann bei der Exponentialfunktion vorbeikommt, also warum nicht gleich direkt. Augenzwinkern

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