Pferderennen

25.04.2018, 18:17

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Pferderennen

Meine Frage:
Bei einem Pferderennen mit 5 Reitern gibt es 1650 Zuschauer. Jeder Zuschauer wettet auf eine Reihenfolge in der die Pferde u ?ber die Ziellinie kommen, wobei es passieren kann, dass mehrere Pferde gleichzeitig im Ziel eintreffen. Wie viele Zuschauer gibt es mindestens, die auf dieselbe Reihenfolge gewettet haben?

Meine Ideen:
Ich denke, es muss mehr als 5! Reihenfolgen geben. Aber wie ich die Aufgabe damit weiter lösen kann, habe ich noch keine Idee unglücklich

25.04.2018, 19:23

soedermalm

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Ich würde das Problem in 5 kleinere Probleme zerlegen. Also wie viele Möglichkeiten gibt es, dass die Reiter auf 5, 4, 3, ... verschiedenen Plätzen landen.

Den Fall 5 hast du ja schon gelöst.

26.04.2018, 10:21

Huggy

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Zitat:

Original von soedermalm
Ich würde das Problem in 5 kleinere Probleme zerlegen.

Daraus lässt sich eine Rekursion machen. Es sei $\begin{eqnarray*} N(n) \end{eqnarray*}$ die Zahl der Einlaufmöglichkeiten für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Pferde. Auf dem ersten Platz können $\begin{eqnarray*} i = 1, ...,n \end{eqnarray*}$ Pferde gleichzeitig einlaufen. Dafür gibt es jeweils $\begin{eqnarray*} \binom n i \end{eqnarray*}$ Auswahlmöglichkeiten unter den Pferden. Die verbleibenden n-i Pferde müssen nach dem gleichen Schema auf die nächsten Plätze verteilt werden. Also

$\begin{eqnarray*} N(n)=\sum_{i=1}^n \binom n i N(n-i) \end{eqnarray*}$

Man erhält $\begin{eqnarray*} N(5)=541 \end{eqnarray*}$ .

26.04.2018, 10:28

HAL 9000

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Nettes Problem und auch schöne Lösung von Huggy. Es sollte noch ergänzt werden, dass $\begin{eqnarray*} N(0)=1 \end{eqnarray*}$ gesetzt wird, damit die Iterationsgleichung hinhaut, das ist vielleicht nicht jedem von vornherein klar.

26.04.2018, 10:33

Huggy

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Zitat:

Original von HAL 9000
Es sollte noch ergänzt werden, dass $\begin{eqnarray*} N(0)=1 \end{eqnarray*}$ gesetzt wird, damit die Iterationsgleichung hinhaut, das ist vielleicht nicht jedem von vornherein klar.

Ja, damit muss man man bei dem einen oder anderen Fragesteller wohl rechnen.

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