Wertebereich bestimmen

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25.04.2018, 23:17

luk100

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Wertebereich bestimmen

Hallo zusammen,

kann mir jemand einen Ansatz für die a) geben?

[attach]46998[/attach]

25.04.2018, 23:42

sibelius84

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Hi,

du musst das Maximum im Intervall [0,pi] berechnen. Der Wert des Maximums ist dann die obere Grenze des Definitionsbereichs, und die untere ist 0, da die Funktion per Definition nie negativ wird. Dann solltest du noch begründen, dass die (lokalen) Maxima in späteren Intervallen kleiner sind als das erste, weil der Faktor e^-x dort kleiner ist. Im Zweifelsfall einfach nachrechnen. Dabei könnte Folgendes helfen:

$\begin{eqnarray*} \cos(x)-\sin(x)=\sqrt 2 \left(\cos(x)\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)-\sin(x)\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right) = \sqrt 2 \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right) \end{eqnarray*}$ .

LG
sibelius84

edit:
...oder wahlweise auch $\begin{eqnarray*} (\cos(x)-\sin(x))^2=\cos^2(x)-2\sin(x)\cos(x)+\sin^2(x)=1-\sin(2x) \end{eqnarray*}$ ; dies könnte Anlass dazu geben zu versuchen, die beim Nullsetzen der Ableitung entstehende Gleichung zu quadrieren.

26.04.2018, 00:14

luk100

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Hallo,

danke für die Tipps. Wieso muss man das Maximum und Minimum betrachten? Also muss ich nur alle Minimale und Maximale betrachten, weil an diesen Punkten ist die Funktion differenzierbar? Weil dann ist f'(x) = 0 wenn x 'sonst' ist und somit muss die anderen Werte für die Ableitung von e*sinus auch gleich null sein?

26.04.2018, 17:25

sibelius84

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Ganz einfach deshalb, weil wenn die Funktion das globale Minimum a und das globale Maximum b hat, dann ist der Wertebereich logischerweise gerade [a,b]. Ein schönes Beispiel dafür ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x):=xe^{-x^2} \end{eqnarray*}$ . Die Extremalstellen sind $\begin{eqnarray*} \pm\frac{1}{\sqrt 2} \end{eqnarray*}$ . Das globale Minimum ist dann $\begin{eqnarray*} f\left(-\frac{1}{\sqrt 2}\right)=-\frac{1}{\sqrt 2}e^{-\frac 1 2} \end{eqnarray*}$ , das globale Maximum ist entsprechend $\begin{eqnarray*} f\left(\frac{1}{\sqrt 2}\right)=\frac{1}{\sqrt 2}e^{-\frac 1 2} \end{eqnarray*}$ (die Globalität kann man zB mit Hilfe des Limes für $\begin{eqnarray*} x\to\pm\infty \end{eqnarray*}$ begründen) und der Wertebereich ergibt sich daraus als

$\begin{eqnarray*} \left[-\frac{1}{\sqrt 2}e^{-\frac 1 2},\frac{1}{\sqrt 2}e^{-\frac 1 2}\right] \end{eqnarray*}$ .

Bei deiner Funktion musst du nun nur beachten, dass sie abschnittsweise (nämlich immer auf den Abschnitten, wo der Sinus negativ werden würde) Null ist. Daher ist das globale Minimum nicht das, das du aus dem Term e^(...)·sin(...) errechnen kannst, sondern Null.

26.04.2018, 17:35

IfindU

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@sibelius
Ich glaube luk ist noch bei der a), während du wohl schon von der b) redest.

26.04.2018, 20:45

luk100

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Ja bin ich. Für die b muss man ja das Min und Max betrachten.

Hat jemand was zu der a) bitte?

27.04.2018, 01:21

sibelius84

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Oh sorry, da bin ich wohl dem threadtitel "Wertebereich bestimmen" aufgesessen.

Falls x im Inneren eines Intervalls $\begin{eqnarray*} [k\pi,(k+1)\pi] \end{eqnarray*}$ liegt, ist die Funktion dort differenzierbar. Zu untersuchen sind nur die Übergangsstellen $\begin{eqnarray*} k\pi \end{eqnarray*}$ . Die linksseitige (oder rechtsseitige) Ableitung ist Null (= Ableitung der Nullfunktion). Die rechtsseitige (oder linksseitige) Ableitung ergibt sich durch Einsetzen in die errechnete Ableitung aus dem Funktionsterm. Wenn beide Male 0 herauskommt, ist die Funktion auch an der Übergangsstelle differenzierbar. Wenn nicht, dann nicht.

27.04.2018, 06:58

Leopold

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b) Vielleicht hilfreich die Funktionalgleichung:

$\begin{align*} f \left( x + 2 \pi \right) = \operatorname{e}^{-2 \pi} \cdot \, f(x) \, , \ \ x \geq 0 \end{align*}$

Ergänzung
@ Sibelius

Im Intervall $\begin{align*} \left( 0 , \pi \right) \end{align*}$ ist $\begin{align*} f'(x) = 0 \end{align*}$ äquivalent zu $\begin{align*} \tan x = 1 \end{align*}$ . Das erscheint mir weniger aufwendig als deine Vorschläge.

27.04.2018, 08:51

luk100

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Zitat:

Original von sibelius84
Oh sorry, da bin ich wohl dem threadtitel "Wertebereich bestimmen" aufgesessen.

Falls x im Inneren eines Intervalls $\begin{eqnarray*} [k\pi,(k+1)\pi] \end{eqnarray*}$ liegt, ist die Funktion dort differenzierbar. Zu untersuchen sind nur die Übergangsstellen $\begin{eqnarray*} k\pi \end{eqnarray*}$ . Die linksseitige (oder rechtsseitige) Ableitung ist Null (= Ableitung der Nullfunktion). Die rechtsseitige (oder linksseitige) Ableitung ergibt sich durch Einsetzen in die errechnete Ableitung aus dem Funktionsterm. Wenn beide Male 0 herauskommt, ist die Funktion auch an der Übergangsstelle differenzierbar. Wenn nicht, dann nicht.

Wieso genau $\begin{eqnarray*} k\pi \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} 2k\pi \end{eqnarray*}$ ?

27.04.2018, 09:05

luk100

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Ah verstehe wieso. Nach der Ableitung von der Funktion sieht man es.

27.04.2018, 09:29

HAL 9000

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Ein Plot der Funktion ist übrigens ziemlich nichtssagend:

Man muss schon auf die logarithmische Skale wechseln um wahrzunehmen, dass die Funktion für $\begin{eqnarray*} x>\pi \end{eqnarray*}$ nicht konstant gleich Null ist:

27.04.2018, 10:39

sibelius84

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Zitat:

Original von Leopold
Ergänzung
@ Sibelius

Im Intervall $\begin{align*} \left( 0 , \pi \right) \end{align*}$ ist $\begin{align*} f'(x) = 0 \end{align*}$ äquivalent zu $\begin{align*} \tan x = 1 \end{align*}$ . Das erscheint mir weniger aufwendig als deine Vorschläge.

Stimmt, du hast völlig Recht. Die Null auf der rechten Seite macht's möglich. Augenzwinkern

27.04.2018, 14:04

luk100

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Ich danke euch. Ich habe die Aufgabe geschafft.

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