Standardnormalverteilung - Sigma mit Tabelle bestimmen

25.04.2018, 23:26

dnik

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Standardnormalverteilung - Sigma mit Tabelle bestimmen

Hallo zusammen,

ich bin mir gerade unsicher, wie ich bei folgender Aufgabe auf das richtige Ergebnis komme.

X~N(50;Sigma)

es gilt: P(x $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 70)=0,2

Sigma soll anhand der Standardnormalverteilungstabelle bestimmt werden.

Kommilitonen meinten, dass, wenn ich den Wert aus der Tabelle übernehme, die 1 vor dem Minus wegfällt.(siehe Anhang) Ist dem wirklich so? Sigma kann doch eigentlich nicht negativ sein, oder?

Ich bin über jede Hilfe dankbar.

Viele Grüße,
dnik

25.04.2018, 23:31

HAL 9000

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Da ist schlicht ein Vorzeichenfehler an einer Stelle in der Rechnung: Richtig ist

$\begin{eqnarray*} P(X\leq 70) = \Phi\left( \frac{70-50}{\sigma} \right) \end{eqnarray*}$

statt des falschen $\begin{eqnarray*} \Phi\left( \frac{50-70}{\sigma} \right) \end{eqnarray*}$ in deiner vierten Zeile von oben. unglücklich

unglücklich

Die Zeilen 5-8 sind obsoletes Rumgewurstel. Von Zeile 4 geht man direkt über zu

$\begin{eqnarray*} \Phi\left( \frac{20}{\sigma} \right) = 0.8 \end{eqnarray*}$ .

25.04.2018, 23:35

sibelius84

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Hi,

wenn du die Gleichheitszeichen noch durch Äquivalenzzeichen ersetzt, sieht dein Vorgehen durchaus sinnvoll aus. Ich glaube, der Fehler passiert ganz am Anfang: Es gilt doch

$\begin{eqnarray*} P\left(X\leq x\right)=P\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\leq \frac{x-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right) \end{eqnarray*}$ .

Müsstest du dann nicht 70-50 rechnen, statt 50-70?

LG
sibelius84

25.04.2018, 23:40

dnik

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Oh man, du hast natürlich völlig recht. Wie unangenehm Hammer

Hammer

Angenommen, es wäre ein 1- vor dem Phi, wie würde es sich dann mit dem weglassen der 1 in der vorletzten Zeile verhalten, wenn ich den Wert aus der Tabelle übernehme? Ist es korrekt, dass das geht?

Vielen Dank für deine wahnsinnig schnelle Antwort!

25.04.2018, 23:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von dnik
Angenommen, es wäre ein 1- vor dem Phi, wie würde es sich dann mit dem weglassen der 1 in der vorletzten Zeile verhalten, wenn ich den Wert aus der Tabelle übernehme? Ist es korrekt, dass das geht?

Bitte direkt ein Beispiel angeben, nicht in so verschwurbelter Rhetorik.

25.04.2018, 23:55

dnik

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Wenn wir das selbe für X~N(90;Sigma) berechnen würden, beschreibt glaube ich, was ich meine.

Sorry, dass ich das so schlecht ausdrücken kann....

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25.04.2018, 23:57

HAL 9000

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Ich kann nur ungefähr ahnen, dass es um das Bestimmen der Quantilfunktion $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1}(\alpha) \end{eqnarray*}$ für Werte $\begin{eqnarray*} 0<\alpha<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ geht, d.h., wie bestimmt man in diesem Fall das $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ aus Gleichung $\begin{eqnarray*} \Phi(z)=\alpha \end{eqnarray*}$ ? (*)

Nun, aus der Symmetrie $\begin{eqnarray*} \Phi(-z)=1-\Phi(z) \end{eqnarray*}$ folgt, dass Gleichung (*) äquivalent ist zu $\begin{eqnarray*} \Phi(-z)=1-\alpha \end{eqnarray*}$ , und da ist ja dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} < 1-\alpha < 1 \end{eqnarray*}$ , was in der Tabelle verzeichnet ist.

26.04.2018, 00:11

dnik

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okay, also stimmt der Lösungsweg dann so, oder verstehe ich noch etwas falsch?

Danke für deine Hilfe!

26.04.2018, 07:13

HAL 9000

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Was du in den drittletzten Zeile anstellst, ist unklar. Du kannst direkt von der fünften Zeile übergehen zu

$\begin{eqnarray*} -\frac{20}{\sigma} = 0.84 \end{eqnarray*}$

mit im Endeffekt dann negativen $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ . Was nichts anderes sagt, als dass das schon von den Ausgangsdaten her unmöglich ist:

Bei einer Normalverteilung mit Zentrum 90 ist klar, dass $\begin{eqnarray*} P(X\geq 70) > 0.5 \end{eqnarray*}$ sein muss, also ist die von dir ausgedachte Kombination $\begin{eqnarray*} X\sim \mathcal{N}(90,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P(X\geq 70)=0.2 \end{eqnarray*}$ von vornherein Blödsinn.

26.04.2018, 12:08

dnik

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Alles klar, danke für deine Hilfe!
woran liegt es denn, dass die 1 in der drittletzten Zeile dann wegfällt? Das verstehe ich nicht ganz.

Ich habe eben im Vorlesungsskript noch etwas anderes gefunden.

Wenn X~N(My;Sigma) ist, und P(x<1)= 0,01 kann ich dann, statt

Phi((My-1)/Sigma))=0,01

auch

Phi((1-My/Sigma))=0,99 ?

Das würde das alles ja etwas abkürzen, oder?

Viele Grüße,
dnik

26.04.2018, 12:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von dnik
woran liegt es denn, dass die 1 in der drittletzten Zeile dann wegfällt?

Erstaunt1

Nirgendwo fällt was weg. unglücklich

unglücklich

26.04.2018, 13:02

dnik

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Wenn ich von 1-Phi(20/Sigma) = 0,8 direkt auf -(20/Sigma)=0,84 gehen kann, wo ist denn dann die 1 hin? Sorry, vermutlich ist die Lösung total easy... Hammer

Hammer

26.04.2018, 13:57

HAL 9000

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Mannomann, ist das eine lange Leitung...

Deine Umformung $\begin{eqnarray*} \Phi\left(-\frac{20}{\sigma}\right) = 1-\Phi\left(\frac{20}{\sigma}\right) \end{eqnarray*}$ war überflüssig, wie ich nun schon zigmal erzählt habe. Mach sie doch bitte wieder rückgängig, dann bist du wieder bei $\begin{eqnarray*} \Phi\left(-\frac{20}{\sigma}\right) = 0.8 \end{eqnarray*}$ und kannst dann die Umkehrfunktion direktanwenden. Jetzt endlich kapiert?

26.04.2018, 15:20

dnik

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Verstanden, danke.
Mir ist schon klar, dass ich kein sehr gutes mathematisches Grundverständnis habe... ich wünschte, das wäre anders.
Letzte Frage.

Bzgl. dem Tauschen von My:

Zitat:

Wenn X~N(My;Sigma) ist, und P(x<1)= 0,01 kann ich dann, statt Phi((1-My)/Sigma))=0,01 auch Phi((My-1/Sigma))=0,99 rechnen?

Ist das so richtig? habe das schon mehrfach im Skript gesehen, bin mir aber nicht abschließend sicher...

Danke für deine Geduld.

26.04.2018, 15:37

HAL 9000

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Das fällt erneut in diese Rubrik

Zitat:

Original von HAL 9000
Symmetrie $\begin{eqnarray*} \Phi(-z)=1-\Phi(z) \end{eqnarray*}$

und zwar angewandt auf $\begin{eqnarray*} z=\frac{1-\mu}{\sigma} \end{eqnarray*}$ .

26.04.2018, 15:47

dnik

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Okay, also stimmt das so.

Danke für deine Hilfe, kann schon verstehen dass du genervt bist.

26.04.2018, 15:59

HAL 9000

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Das Problem ist, du musst versuchen besser zu abstrahieren:

Anscheinend siehst du hier eine Unzahl an möglichen Situation für die $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ -Umkehrung. Tatsächlich geht es in erster Linie nur um die Bestimmung von $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Phi(z)=\alpha \end{eqnarray*}$ bei gegebenem $\begin{eqnarray*} \alpha\in (0,1) \end{eqnarray*}$ (Ok, vielleicht ist $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ nicht dein eigentliches Ziel, sondern wie im Fall $\begin{eqnarray*} z=\frac{20}{\sigma} \end{eqnarray*}$ dann doch eher $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ , dennoch rechnet man ja zuerst $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ aus).

1) Im Fall $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\leq \alpha <1 \end{eqnarray*}$ geht man von dieser Gleichung direkt in die Tabelle und bestimmt somit $\begin{eqnarray*} z = \Phi^{-1}(\alpha) \end{eqnarray*}$ .

2) Im Fall $\begin{eqnarray*} 0<\alpha<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ nutzt man die genannte Symmetrie und landet bei $\begin{eqnarray*} \Phi(-z)=1-\alpha \end{eqnarray*}$ und schaut das $\begin{eqnarray*} 1-\alpha \end{eqnarray*}$ in der Tabelle nach, d.h., man bekommt am Ende $\begin{eqnarray*} -z = \Phi^{-1}(1-\alpha) \end{eqnarray*}$ bzw. eben umgestellt $\begin{eqnarray*} z = -\Phi^{-1}(1-\alpha) \end{eqnarray*}$ .

Mehr gibt es dazu eigentlich nicht zu sagen. In deinem Scan sind sehr oft Situationen zu beobachten, wo du eigentlich schon bei Schritt 1) oder 2) bist, und du dann aber noch 3..4 Umformungen machst (z.T. hin und wieder zurück), die nix bringen und irgendwie ziellos wirken.

26.04.2018, 16:19

dnik

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Okay, ich glaube so komme ich erstmal zurecht. Vielen Dank! Ganz verstehen tue ich es zwar noch nicht, aber zumindest anwenden kann ich das schonmal, v.a. das tauschen von My mit dem eingesetzen Wert in der Subtration macht mir das Leben schon einfacher. Ich hoffe das Verständnis folgt dann. Hammer

Hammer

Danke dir nochmal smile

smile

26.04.2018, 17:55

dnik

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Ich habe jetzt mal eine Aufgabe gerechnet, bei der ich das angewendet habe, was ich glaube verstanden zu haben. Unsicher bin ich mir v.a. bei Teilaufgabe e.)

Falls du Lust (und noch Nerven) hast, ich würde mich freuen zu wissen ob/wo ich falsch liege. Und hoffe dass du keine Herzinfarkt bekommst, wenn du es liest geschockt

geschockt

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