Offene Überdeckung

26.04.2018, 07:23

Melanie233

Offene Überdeckung

Hallo,
ich habe Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ versehen mit der Metrik $\begin{eqnarray*} d(x, y) =|x-y| \end{eqnarray*}$ .
Ich habe folgendes Mengensystem:

$\begin{eqnarray*} X_1 = \{ (\frac{x}{2}, (\frac{3x}{2}) : 0 < x < 1\} ;X_2 = \{(x - \frac{1}{2},(x -+\frac{1}{2}) : 0 < x < 1\} \end{eqnarray*}$

Sind dann diese offene Überdeckungen von $\begin{eqnarray*} A=\{ \frac{1}{n} : n \in \mathbb N \} \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$

Zu 1.)
Es handelt sich um eine offene Überdeckung, denn für ein $\begin{eqnarray*} x \in (\frac{x}{2}, (\frac{3x}{2}) \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \frac{1}{n+2} \leq \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{3x}{2} \leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ , denn nach dem archimedischen Axiom kann es keine "unendlich große oder kleine reelle Zahlen geben.
Kann man so argumentieren?

26.04.2018, 07:41

HAL 9000

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Die Definition von $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ soll vermutlich $\begin{eqnarray*} X_2 = \left\{ \left(x - \frac{1}{2},x +\frac{1}{2}\right):\; 0 < x < 1\right\} \end{eqnarray*}$ lauten...

$\begin{eqnarray*} x \in (\frac{x}{2}, (\frac{3x}{2}) \end{eqnarray*}$ ??? Da ist wohl was faul. Die ganze Argumentationskette danach ist mir auch suspekt, aber bei dem Start lohnt es sich vor einer Reparatur überhaupt nicht, drüber zu reden.

Eigentlich sind die Mengensysteme so einfach strukturiert, dass man unmittelbar $\begin{eqnarray*} \bigcup X_1 = \left(0,\frac{3}{2}\right) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \bigcup X_2 = \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right) \end{eqnarray*}$ erkennt.

26.04.2018, 07:50

Melanie233

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Ja du hast mit allem Recht. Formal ist es auch nicht so gut.
Du sagst:
$\begin{eqnarray*} \bigcup X_1 = \left(0,\frac{3}{2}\right) \end{eqnarray*}$

Aber das kann man doch mit A nicht überdecken, denn es gibt doch kein n, mit dem $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}>1 \end{eqnarray*}$ ist oder?

26.04.2018, 07:53

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ soll $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ überdecken, nicht umgekehrt!

26.04.2018, 07:58

Melanie233

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Aso

Dann ist es klar.

Würde es eine endliche Teilüberdeckung der jeweiligen $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ geben?

26.04.2018, 08:06

HAL 9000

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Du meinst in Bezug auf $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ?

Bei $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ nein: Da kannst du nachweisen, dass bei Auswahl endlicher vieler Mengen aus $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ es immer ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ in keiner dieser Mengen liegt.

Bei $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ ja: Du kannst locker eine angeben, die aus nur zwei Mengen aus $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ besteht.

26.04.2018, 08:34

Melanie233

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Also bei 2. kann man doch einfach einmal $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$
Dann bekommt man die offenen Intervalle: $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-\frac{1}{4}, \frac{3}{4}). \end{eqnarray*}$

Die Vereinigung ist dann ja A. Das Intervall (0,1) reicht ja schon aus.

Zu 1.)

Vllt so: Es gäbe nur endlich viele $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_1<x_2<...<x_n \end{eqnarray*}$
Dann würde z.b $\begin{eqnarray*} \frac{x_1}{3} \end{eqnarray*}$ nicht mehr zur endlichen Vereinigung der durch die jeweiligen $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ erzeugten Intervalle gehören. Jedoch ist $\begin{eqnarray*} \frac{x_1}{3} \in A \end{eqnarray*}$ .
D.h dann insgesamt, dass A nicht überdeckungskompakt ist, weil es zu beliebig vorgegeben offen Überdeckungen, nicht immer eine offene endliche Teilüberdeckung gibt oder?

26.04.2018, 08:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von Melanie233
Also bei 2. kann man doch einfach einmal $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$
Dann bekommt man die offenen Intervalle: $\begin{eqnarray*} (0,1) und (-\frac{1}{4}, \frac{3}{4}). \end{eqnarray*}$

Die Vereinigung ist dann ja A.

Knapp daneben gehauen: Es ist $\begin{eqnarray*} 1\in A \end{eqnarray*}$ , aber 1 ist in keiner deiner beiden Mengen...

Kann leicht repariert werden durch eine angepasste Wahl, z.B. $\begin{eqnarray*} x=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Melanie233
Vllt so: Es gäbe nur endlich viele $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_1<x_2<...<x_n \end{eqnarray*}$
Dann würde z.b $\begin{eqnarray*} \frac{x_1}{3} \end{eqnarray*}$ nicht mehr zur endlichen Vereinigung der durch die jeweiligen $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ erzeugten Intervalle. Jedoch ist $\begin{eqnarray*} \frac{x_1}{3} \in A \end{eqnarray*}$ .

So formuliert stimmt es nicht, z.B. könnte $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ irrational sein, dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{x_1}{3} \in A \end{eqnarray*}$ garantiert falsch. Was du vielleicht meinst ist, dass du ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}<\frac{x_1}{3} \end{eqnarray*}$ findest, so kommt es hin!

26.04.2018, 08:43

Melanie233

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Danke dir

Ich sollte mich mehr konzentrieren unglücklich

Aber zu 2.) Die Existenz eines solchen n würde dann aus dem archimedischen Axiom folgen.
Und meine Schlussfolgerung, dass A nicht kompakt ist, ist auch ok?

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