Stetigkeit

26.04.2018, 10:57

Manuel7237

Auf diesen Beitrag antworten »

Stetigkeit

Hallo liebes Forum,
es geht um die Stetigkeitsuntersuchung folgender Funktion:

Sei $\begin{eqnarray*} g : (\mathbb R^2, ||.||_2) \rightarrow (\mathbb R; |.|) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} g(x,y) = y-x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x^2 \leq y \end{eqnarray*}$
0 für $\begin{eqnarray*} y<x^2 \end{eqnarray*}$

Also die Funktion ist schonmal überall stetig außer an der Stelle $\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$

Denn nehme ich 2 Folgen mit $\begin{eqnarray*} (x_n,y_n)=(x-\frac{1}{n}, x^2 - \frac{2x}{n} + \frac{1}{n^2}) \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} (x_m,y_m)=(x'+\frac{1}{m}, x'^2 + \frac{2x'}{m} + \frac{1}{m^2}) \end{eqnarray*}$

Die sich jeweils von links und von rechts der Stelle nähern, dann ist
$\begin{eqnarray*} lim g(x_m,y_m)= x'^2-x' \ne 0 = lim g(x_n,y_n) \end{eqnarray*}$

Funktoniert das so?

26.04.2018, 12:07

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit

Zitat:

Original von Manuel7237
Also die Funktion ist schonmal überall stetig außer an der Stelle $\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$

Besser wäre es, die Stelle $\begin{eqnarray*} (x_0, x_0^2) \end{eqnarray*}$ zu betrachten, wobei noch zu klären ist, welche Werte das x_0 annehmen darf. Deine beiden Folgen sehen dann so aus:

$\begin{eqnarray*} (x_n,y_n) = (x_0 - \frac{1}{n}, x_0^2 - \frac{2x_0}{n} + \frac{1}{n^2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x_m,y_m) = (x_0 + \frac{1}{m}, x_0^2 + \frac{2x_0}{m} + \frac{1}{m^2}) \end{eqnarray*}$

Blöd ist nur, daß in beiden Fällen g(x_n, y_n) und g(x_m, y_m) gegen $\begin{eqnarray*} x_0^2 - x_0 \end{eqnarray*}$ konvergiert.

26.04.2018, 12:16

Manuel7237

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit
Danke dir smile

smile

Aber ich verstehe nicht, was ich abändern muss? verwirrt

verwirrt

26.04.2018, 12:48

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit
Na ja, offensichtlich ist dein Problem, daß du mit deinen Folgen entlang der Parabel y = x² läufst. Vielleicht solltest du das ändern. smile

smile

26.04.2018, 12:56

Manuel7237

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit
Du hast gesagt, ich soll die Stelle $\begin{eqnarray*} (x_0,x_0^2 ) \end{eqnarray*}$ betrachten.
Wie formuliere ich das dann am besten, dass ich mich von links und rechts an die Parabel annähere ?

26.04.2018, 13:00

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit
Nun ja, was heißt da "von links und rechts"? Du kannst dich dem Punkt aus hunderttausend Richtungen (und noch ein paar mehr) annähern. Es reichen allerdings 2, wenn du dabei unterschiedliche Grenzwerte bei den Funktionswerten bekommst, um Unstetigkeit zu zeigen. Versuche es mal mit Annäherungen von "unten" und von "oben". Augenzwinkern

Augenzwinkern

Anzeige

26.04.2018, 13:23

Manuel7237

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit
Ich weis nicht wie ich das genau ausdrücken soll.
Vllt wenn ich mich auf einer Gerade nährere y=x. Oder denke ich zu kompliziert?

26.04.2018, 14:01

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit
Das wäre machbar, ist aber komplizierter als nötig.

Vorschlag zur Annäherung von "unten": $\begin{eqnarray*} (x_n, y_n) = (x_0, x_0^2 - \frac 1 n) \end{eqnarray*}$

Kleine Korrektur zu meiner Äußerung im vorigen Beitrag: es reicht auch eine Folge, wenn der Grenzwert der Funktionswerte dieser Folge ungleich g(x_0, y_0) ist.

26.04.2018, 14:09

Manuel7237

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit
$\begin{eqnarray*} (x_n, y_n) = (x_0, x_0^2 - \frac 1 n) \end{eqnarray*}$

Wenn ich diese Folge habe, dann ist doch $\begin{eqnarray*} lim_{n \rightarrow \infty } (x_n, y_n) = (x_0,x_0^2) \end{eqnarray*}$ jedoch ist : $\begin{eqnarray*} lim_{n \rightarrow \infty } g(x_n,y_n) = 0 \ne x_0^2-x_0 = g( lim_{n \rightarrow \infty } (x_n,y_n) \end{eqnarray*}$ oder?

26.04.2018, 14:31

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit
Im Prinzip ja, aber eine kleine Begründung, warum g(x_n, y_n) = 0 ist (und damit auch der Grenzwert), wäre schon nett.
Und die Aussage $\begin{eqnarray*} 0 \ne x_0^2-x_0 \end{eqnarray*}$ stimmt nun auch nicht für jedes x_0 . smile

smile

26.04.2018, 14:35

Manuel7237

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit
Also $\begin{eqnarray*} g(x_n,y_n)=0 \end{eqnarray*}$ , da ja gilt das $\begin{eqnarray*} x^2_0-\frac{1}{n} <x_0^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \ne x_0^2 -x_0 \forall x_0 \notin \{0,1\} \end{eqnarray*}$
, denn die Funktion ist in (0,0) und (1,1) stetig?

26.04.2018, 15:03

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit

Zitat:

Original von Manuel7237
$\begin{eqnarray*} 0 \ne x_0^2 -x_0 \forall x_0 \notin \{0,1\} \end{eqnarray*}$
, denn die Funktion ist in (0,0) und (1,1) stetig?

Nun ja, diese Schlußfolgerung ist gewagt. Zumindest kann man sagen, daß die Funktion für alle anderen Punkte auf der Parabel unstetig ist. Daraus folgt nicht die Stetigkeit in den Punkten (0,0) und (1,1). Da mußt du nochmal extra ran. smile

smile

26.04.2018, 15:12

Manuel7237

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit
Also bei der Stetigkeit in (1,1), (0,0) habe ich die epsilon-delta-Defintion angewandt.

Ich finde ein $\begin{eqnarray*} \delta = \frac{\epsilon}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$
Das hat auf meinem Schmierblatt so funktioniert Big Laugh

Big Laugh

Wie könnte ich den jetzt Max und Min von g
bestimmen?
Hast du da einen Tipp?

26.04.2018, 15:33

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit

Zitat:

Original von Manuel7237
Ich finde ein $\begin{eqnarray*} \delta = \frac{\epsilon}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$
Das hat auf meinem Schmierblatt so funktioniert Big Laugh

Big Laugh

Na hoffentlich ist wenigstens der Beweis sauber. smile

smile

Zitat:

Original von Manuel7237
Wie könnte ich den jetzt Max und Min von g
bestimmen?

Nun ja, eine nähere Untersuchung lohnt sich ja nur für y >= x². Und da würde ich mir mal den Gradienten für y > x anschauen.

26.04.2018, 15:36

Manuel7237

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit
Ich kann dir auch später zeigen, aber ich denke er passt so smile

smile

Den Gradienten hatten wir noch nicht. Gibt es da eine andere Möglichkeit. Ist das Minimum dann einfach 0?

26.04.2018, 15:54

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit
Welchen Funktionswert hast du beispielsweise im Punkt (1/3, 1/4) ?
Ohne Gradienten wird es etwas lästig. Da müßte man mal den originalen Aufgabentext sehen, um zu verstehen, was wirklich verlangt ist.

Für heute muß ich mich aber ausklinken.

26.04.2018, 16:10

Manuel7237

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit
Danke dir smile

smile

Ich zeige dir dann den Aufgabentext.

27.04.2018, 09:06

Manuel7237

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit
Hallo klarsoweit smile

smile

Hier ist die Originalaufgabe.

27.04.2018, 09:19

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit
OK, jetzt ist die Aufgabe b doppelt vergeben. Big Laugh

Big Laugh

Nun denn, ich würde mal die Begriffe Maximum und Minimum so interpretieren, daß damit das globale Maximum bzw. Minimum gemeint ist. Damit bin ich wieder bei der Frage, was der Funktionswert im Punkt (1/3, 1/4) ist?

27.04.2018, 09:30

Manuel7237

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit
Also es gilt doch das (1/3)^2 =(1/9) <1/4
Dann würde man doch 1/4-1/3 rechnen?

27.04.2018, 09:37

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit
Und dann kommt was raus? (Mir geht es um die Frage, ob deine Annahme, daß das Minimum 0 ist, valide sein könnte.)

27.04.2018, 09:47

Manuel7237

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit
Achso. Ja stimmt.
Etwas kleineres als 0.
Aber wie finde ich dann das Min heraus?

27.04.2018, 12:52

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit
Nun ja, unterhalb der Parabel y = x² hast du ja den Funktionswert Null. Oberhalb der Parabel (also y > x²) ist der Funktionswert y - x. Diesem Term sieht man leicht an, daß er für festes x und veränderlichem y monoton steigt. Also mußt du das Minimum auf der Parabel y = x² suchen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.04.2018, 14:02

Manuel7237

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit
Warum hälst du denn das x fest und argumentierst dann, dass man auf diese Weise das Min bei y=x^2 findet?
Eine Kurvendiskussion von y=x^2 liefert ja ein Min bei (0,0).
Aber das ist ja falsch. Also habe ich irgendwas noch nicht richtig verstanden unglücklich

unglücklich

27.04.2018, 14:35

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit
Also nochmal: ich betrachte einen Punkt (x_0, y_0) mit $\begin{eqnarray*} y_0 \geq x_0^2 \end{eqnarray*}$ . Dann ist der Funktionswert $\begin{eqnarray*} f(x_0, y_0) = y_0 - x_0 \end{eqnarray*}$ . Angenommen, dieser Punkt liegt nicht auf der Parabel y = x², dann gibt es ein y', das kleiner als y_0, aber größer als $\begin{eqnarray*} x_0^2 \end{eqnarray*}$ ist, also: $\begin{eqnarray*} x_0^2 < y' < y_0 \end{eqnarray*}$ . Da somit $\begin{eqnarray*} f(x_0, y') < f(x_0, y_0) \end{eqnarray*}$ ist, kann die Funktion nur Minima auf der Parabel y = x² haben. Du darfst natürlich jetzt nicht die Minima der Parabel bestimmen, sondern der Funktion f, wobei eben y = x² ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.04.2018, 19:30

Manuel7237

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Stetigkeit
Jetzt verstehe ich auch, was du meinst mit x festhalten smile

smile

Also dann muss ich für die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2-x \end{eqnarray*}$ das Minimum bestimmen:

Dann hätte ich $\begin{eqnarray*} f'(x)=2x-1 \end{eqnarray*}$
1. notwendige Bedingung: $\begin{eqnarray*} 2x-1=0 \rightarrow x= \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
2. hinreichende Bedingung: $\begin{eqnarray*} f''(x)=2>0 \end{eqnarray*}$ , also Minimum.

Dann wäre das Minimum $\begin{eqnarray*} ( \frac{1}{2}, -\frac{1}{4}) \end{eqnarray*}$

Darüber hinaus gibt es doch kein Maximum, denn für $\begin{eqnarray*} y\geq x^2 \end{eqnarray*}$ ist ja, wie du schon sagst, $\begin{eqnarray*} y-x \end{eqnarray*}$ monoton steigend,insbesondere nach oben unbeschränkt.
Passt das smile

smile

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »