Bedingte Wahrscheinlichkeiten - mehrere Aufgaben

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cosenk Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingte Wahrscheinlichkeiten - mehrere Aufgaben
Meine Frage:
1.) Drei Gruppen von Studierenden bearbeiten unabhängig voneinander eine Aufgabe mit den Erfolgswahrscheinlichkeiten

P(A) = 0.35; P(B) = 0.4; P(C) = 0.2

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine Gruppe erfolgreich ist?

2.) Die Studierenden hören hier an der Hochschule eine Statistikvorlesung, aber nur 45 % machen die Übungsaufgaben. Von diesen Fleißigen bestehen 85 % die Klausur, während von den Faulen nur 50 % die Klausur bestehen.
Betrachten Sie die Ereignisse:
A= Studierender macht Aufgaben, B= Studierender besteht die Klausur

2a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, für einen zufällig ausgewählten Studierenden, die Klausur zu bestehen?


2b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Studierender, der die Klausur bestanden hat, zu den Fleißigen zählt?

3) Eine Schaltung funktioniert, wenn T1, T3 und mindestens eines der Bauelementen T21, T22 nicht ausfallen.
Die Wahrscheinlichkeiten pk, dass die Elemente Tk funktionieren, sind

p1 = 0.75; p21 = 0.68; p22 = 0.66; p3 = 0.8.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Schaltung funktioniert?

Meine Ideen:
Ich stehe eher auf dem Schlauch, da ich die Vorlesungen nicht besuchen konnte und das Skript nicht so hilfreich ist meiner Meinung nach.

Natürlich erwarte ich keine Lösungen auf dem Silbertablett. Vielmehr möchte ich gerne selbst mit Tipps/Hilfestellungen die Lösungen mit eurer Hilfe erarbeiten.

Vielen Dank im Voraus! smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1) Die Gruppen haben unabhängig voneinander Erfolg. Das bedeutet aber auch, dass sie unabhängig voneinander nicht Erfolg haben...

2a) Formel der totalen Wahrscheinlichkeit für P(B)
2b) Bayessche Formel, unter Zuhilfenahme des Ergebisses 2a).

Zu 3) vielleicht später was.
 
 
cosenk Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke. Das hilft erstmal weiter, aber noch eine Zwischenfrage:

1) Ich kenne die Formel, um zwei unabhängige Ereignisse zu berechnen, wie ist es hier mit 3? Theoretisch gibt es ja die Möglichkeit, dass A erfolgreich ist, B und C nicht oder B erfolgreich ist, A und C jedoch nicht usw. Da kommt nicht immer dasselbe raus.

2) Fuer B werden allgemein die betrachtet, die bestanden haben. Hier wird jedoch unterteilt. Wie fasse ich die 85% der Fleißigen (45%) und 50% der Faulen (55%) zusammen?

Danke!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Hinweis ging eigentlich in eine andere Richtung. Mal deutlicher: Das Gegenteil von "mindestens eine Gruppe war erfolgreich" ist "keine Gruppe war erfolgreich". Und dieses Gegenteil besteht nur aus einer einzigen ABC-Kombination.
cosenk Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das heißt, dass man alle Gegenwahrscheinlichkeiten miteinander multipliziert, was 0,312 ergibt. Das heißt, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 31,2% keine Gruppe erfolgreich ist.

-> 100% - 31,2% = 68,8%

Das sollte die Lösung für 1 sein.

P.S.: Habe den Formeleditor nicht benutzt, weil ich nicht weiß, wie man Gegenwahrscheinlichkeiten (Strich über Buchstaben) darstellt.
cosenk Auf diesen Beitrag antworten »

Passt meine vorherige Antwort zu 1) so?

2) Für B werden allgemein die betrachtet, die bestanden haben. Hier wird jedoch unterteilt. Wie fasse ich die 85% der Fleißigen (45%) und 50% der Faulen (55%) zusammen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Antwort zu 1) passt. Und zu 2) habe ich ja oben schon eine Empfehlung gegeben, hast du wohl nicht wahrgenommen.
cosenk Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, habe ich. smile

Habe mir auch die Formel angeguckt, aber die Frage, die sich mir stellt, ist: Wie fasse ich die beiden Angaben für Ereignis B zusammen?
cosenk Auf diesen Beitrag antworten »

So.. Hab die Formel nach P(B) umgestellt und P(B) über 0,85 multipliziert mit 0,5 berechnet.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann leider nicht nachvollziehen, was du da tust (Im oberen Teil scheinst du zudem für bedingte Wahrscheinlichkeiten eine andere Schreibweise als üblich zu pflegen: Üblich ist P(Ereignis | Bedingung), während du anscheinend mit Symbolik P(Bedingung | Ereignis) hantierst). Fangen wir doch erstmal damit an, was aus dem Aufgabentext ablesbar ist:

(und damit ) sowie und .

Die Formel der totale Wahrscheinlichkeit für basierend auf dem Ereignissystem lautet nun

.



2b) Bayessche Formel: mit dem aus 2a).
cosenk Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man, hatte einen falschen Ansatz anscheinend, aber zumindest einige Informationen aus dem Text richtig. Hatte zunächst den gleichen Ansatz wie du, aber habe dann wohl falsche Annahmen getroffen..

Somit folgt für 2a) als Ergebnis 0,658 und 2b) 0,581
cosenk Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 3) ist die Grafik vielleicht nochmal wichtig. T1 und T3 sind unabhängig. Somit kann die Wahrscheinlichkeit, dass beide funktionieren durch Multiplikation zu 0,51 zusammengefasst werden.

Die Frage, die sich mir nun stellt, ist: Ich weiß, dass ich jetzt wieder die Gegenwahrscheinlichkeit zu "Keine der beiden funktioniert benötige", aber wie berechne ich die Wahrscheinlichkeit, dass beide funktionieren? Offensichtlich sind sie abhängig.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Was die Parallelschaltung der beiden mittleren Bauelemente betrifft, da greift wieder das Prinzip aus Aufgabe 1): fällt genau dann aus, wenn sowohl als auch ausfallen. D.h., als Block betrachtet ergibt sich , umgestellt

Und für die Gesamtschaltung gilt (wie du schon richtig erkannt hast) das Produkt .
cosenk Auf diesen Beitrag antworten »

Super, vielen Dank! Freude

Heißt also, dass die Schaltung mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,455 funktioniert?


P.S.: Hab noch zwei Aufgaben, zu denen ich auch die Lösungen habe und einmal ein Check/Nicht-Check hätte. Geht das auch hier oder in einem neuen Beitrag?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme ausgehend von diesen Daten

Zitat:
Original von cosenk
p1 = 0.75; p21 = 0.68; p22 = 0.66; p3 = 0.8

eher auf eine Wahrscheinlichkeit von ca. 0.535 .


Was weitere Aufgaben betrifft: Sind sie thematisch sehr eng zu den bisherigen, dann ruhig hier. Aber ansonsten ein neuer Thread.
cosenk Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, hast Recht! Habe mich wohl vertippt oder so.

Zur nächsten Aufgabe:
Passt das soweit?
Ist die 2. Lösung nicht einfach der Ausschussanteil von B oder denke ich zu einfach?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von cosenk
Ist die 2. Lösung nicht einfach der Ausschussanteil von B oder denke ich zu einfach?

Ja, manchmal ist eben nur "ablesen" statt "ausrechnen" angesagt. Augenzwinkern
cosenk Auf diesen Beitrag antworten »

smile

Passt der Rest soweit auch?
cosenk Auf diesen Beitrag antworten »

Eine noch haha, aber da will ich auch nur gerne wissen, ob ich richtig liege. Muss man hier nicht auch einfach ablesen und hat somit 0,5?

Danke! smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von cosenk
Passt der Rest soweit auch?

Ja, sonst hätte ich mich längst beschwert.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von cosenk
Muss man hier nicht auch einfach ablesen und hat somit 0,5?

Nein, es ist hier gesucht, also wieder Bayes.

Die 0,5 sind die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Teinehmer der Gruppe Ruderer am Trainingslager teilnimmt, also .

Du hast also Bedingung und Ereignis vertauscht.
cosenk Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, stimmt. Im Internet habe ich es andersherum gelesen oder ich habe mich verlesen.. Hammer

Ok, fehlt eigentlich nur P(B), um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, richtig?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, das Schema ist dir ja nun hinlänglich bekannt, da musst du dir nicht jeden Teilschritt absegnen lassen.
cosenk Auf diesen Beitrag antworten »

So..





Freude oder unglücklich ?

Irgendwas stimmt nicht.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, dann hast du es wohl doch noch nicht verstanden:

ist zwar richtig, aber nützt dir hier herzlich wenig, da du keinen direkten Zugriff auf hast. unglücklich

Was du hier kennst, sind die Werte für , und die vier Ereignisse bilden auch die hier relevante Zerlegung des Gesamtraums . Und da ist

.
cosenk Auf diesen Beitrag antworten »

Es ergibt sich

cosenk Auf diesen Beitrag antworten »

Passt das so? verwirrt

Und danke fuer die lange Geduld mit meiner Wahrscheinlichkeitsrechnung-Schwäche Big Laugh
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Rechnung stimmt.
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