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26.04.2018, 22:52

Melanie233

Folge

Hallo,
es geht um folgenden Beweis:
Sei $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A \subset X \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} x \in \bar{A} \Leftrightarrow \exists (x_n) \subset A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n \rightarrow x \end{eqnarray*}$

1. $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} (x_n) \subset A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n \rightarrow x \end{eqnarray*}$ Da $\begin{eqnarray*} A \subset \bar{A} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (x_n) \subset \bar{A} \end{eqnarray*}$

Und da $\begin{eqnarray*} \bar{A} \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist, liegt auch der GW x darin.

Kann mir jmd für die andere Richtung einen Tipp geben?

27.04.2018, 01:14

sibelius84

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Hi,

wenn diese Behauptung zu zeigen (und nicht Definition) ist, dann vermute ich mal, dass bei euch definiert wurde: "Eine Menge A heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist." Unter dieser Prämisse wäre auch dein Versuch noch nicht ganz zielführend. Ich würde so argumentieren: Angenommen, $\begin{eqnarray*} x\notin\bar A \end{eqnarray*}$ . Dann $\begin{eqnarray*} x\in \bar A^C \end{eqnarray*}$ und diese Menge ist - als Komplement einer abgeschlossenen Menge - offen, also existiert eine $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Kugel U um x mit einem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} U\subseteq \bar A^C \subseteq A^C \end{eqnarray*}$ (weil ja $\begin{eqnarray*} A\subseteq\bar A \end{eqnarray*}$ und das Komplement die Inklusionsrichtung umkehrt). Wenn es aber nun eine $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Kugel um x gibt, die komplett nicht in A liegt - siehst du dann, warum es keine Folge in A geben kann, die gegen x konvergiert?

Für die andere Richtung kann man ganz ähnlich argumentieren: Angenommen, die linke Seite gilt und es gäbe keine Folge in A, die gegen x konvergiert. Dann muss x ein innerer Punkt von A^C sein (denn sonst könnte man ja eine solche Folge angeben). Ist also B eine abgeschlossene Obermenge von A, so kannst du dir überlegen, dass man eine kleine offene Umgebung von x wegnehmen kann und immer noch eine abgeschlossene Obermenge von A erhält. Siehst du, wie daraus $\begin{eqnarray*} x\notin \bar A \end{eqnarray*}$ und damit ein Widerspruch folgt, so dass die Behauptung gezeigt ist?

LG
sibelius84

27.04.2018, 07:43

Melanie233

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Zitat:

Original von sibelius84
Hi,

wenn diese Behauptung zu zeigen (und nicht Definition) ist, dann vermute ich mal, dass bei euch definiert wurde: "Eine Menge A heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist." Unter dieser Prämisse wäre auch dein Versuch noch nicht ganz zielführend. Ich würde so argumentieren: Angenommen, $\begin{eqnarray*} x\notin\bar A \end{eqnarray*}$ . Dann $\begin{eqnarray*} x\in \bar A^C \end{eqnarray*}$ und diese Menge ist - als Komplement einer abgeschlossenen Menge - offen, also existiert eine $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Kugel U um x mit einem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} U\subseteq \bar A^C \subseteq A^C \end{eqnarray*}$ (weil ja $\begin{eqnarray*} A\subseteq\bar A \end{eqnarray*}$ und das Komplement die Inklusionsrichtung umkehrt). Wenn es aber nun eine $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Kugel um x gibt, die komplett nicht in A liegt - siehst du dann, warum es keine Folge in A geben kann, die gegen x konvergiert?

sibelius84

Wenn es eine Kugel um x gibt, die nicht in A liegt, kann es keine Folge in A geben, die gegen x kovergiert, da sich ja fast alle Folgeglieder um x liegen müssen, aber diese kommen ja aus A?

Zitat:

Original von sibelius84
Für die andere Richtung kann man ganz ähnlich argumentieren: Angenommen, die linke Seite gilt und es gäbe keine Folge in A, die gegen x konvergiert. Dann muss x ein innerer Punkt von A^C sein (denn sonst könnte man ja eine solche Folge angeben). Ist also B eine abgeschlossene Obermenge von A, so kannst du dir überlegen, dass man eine kleine offene Umgebung von x wegnehmen kann und immer noch eine abgeschlossene Obermenge von A erhält. Siehst du, wie daraus $\begin{eqnarray*} x\notin \bar A \end{eqnarray*}$ und damit ein Widerspruch folgt, so dass die Behauptung gezeigt ist?
sibelius84

Die andere Richtung seh ich noch nicht so. Vor allem das mit der Obermenge. Kannst du das nochmal erklären verwirrt

27.04.2018, 10:32

sibelius84

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Man hat ja meistens die Definition

$\begin{eqnarray*} \bar A := \text{kleinste abgeschlossene Obermenge von } A = \bigcap_{\quad \,\, A\subseteq B \\ B \; abgeschlossen} B \end{eqnarray*}$ .

Wenn man zeigen will, dass $\begin{eqnarray*} x\notin\bar A \end{eqnarray*}$ , dann muss man also zeigen, dass es eine abgeschlossene Obermenge B von A mit $\begin{eqnarray*} x\notin B \end{eqnarray*}$ gibt. Dann liegt x also nicht in dem obigen Durchschnitt, sprich: nicht in $\begin{eqnarray*} \bar A \end{eqnarray*}$ .

Vorsicht, ich 'errate' hier immer die Definitionen, die ich für am wahrscheinlichsten halte. Um ganz sicher zu gehen, müsstest du mit deiner VL noch mal abgleichen.

27.04.2018, 11:50

Melanie233

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Hallo sibelius,
leider hatten wir so eine Definition in unserer Vl nicht. Würde es noch eine andere Möglichkeit geben?

27.04.2018, 18:37

sibelius84

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Definitionen sind immer die Grundlage von allem. Beispielsweise könnte man die Aufgabenstellung
"Zeige, dass die Menge M abgeschlossen ist"
präziser / länger auch formulieren als
"Zeige, dass die Menge M der Definition einer abgeschlossenen Menge entspricht".

Also: Wenn ihr keine Definition davon hattet, dann gibt es keinerlei Möglichkeit, deine Behauptung zu beweisen.

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