Überall konvergierende Reihen, die unendlich langsam konvergieren?

27.04.2018, 11:41

Graf_Love

Überall konvergierende Reihen, die unendlich langsam konvergieren?

Hallo ihr lieben,

hier eine nicht-standard-Frage:
Wenn ich eine überall konvergierende Reihe $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} F(x) = S_n(x) + R_n(x) \end{eqnarray*}$ aufteile, also n endliche Glieder und den Rest mit unendlich vielen Gliedern und alle Glieder sind selbst stetige Funktionen, dann kann es ja dennoch passieren, dass die Reihe eine unstetige Funktion wird, weil sie nicht gleichmäßig konvergiert (so z.B. Fourierreihen).
Dann kann ich in unmittelbarer Nähe einer Sprungstelle mit einem endlichen Wert von n den "unendlichen Rest" $\begin{eqnarray*} R_n(x) \end{eqnarray*}$ definitiv nicht kleiner als die Sprunghöhe machen.
Beispiel: Die Reihe springt bei 0 von -1 auf 0 auf 1. Wenn ich mich mit einem $\begin{eqnarray*} \underset{\epsilon\rightarrow 0}{\mathrm{lim}} F(0+\epsilon) \end{eqnarray*}$ der Sprungstelle beliebig nah annähere, werde ich kein endliches n finden können, so dass $\begin{eqnarray*} R_n(x) < k \end{eqnarray*}$ , wobei k=1, also die Sprunghöhe ist. Einfach, weil der unendliche Rest hier den Sprung "verursacht" und somit die Unstetigkeit. Der endliche Teil kann wegen der Stetigkeit aller Reihenglieder den Sprung nicht "verursachen".

Nun zu meiner Frage:
Kann es Reihen geben, bei denen ich $\begin{eqnarray*} R_n(x)<k \end{eqnarray*}$ mit endlichem n nicht erreichen kann, wenn k größer als die Sprunghöhe ist? Also Reihen, die so langsam konvergieren, dass auch an jeder (oder manchen) stetigen Stelle(n) eine endliche Anzahl Glieder NICHT ausreicht, um die Reihe beliebig genau zu approximieren (denn an stetigen Stellen wäre die Sprunghöhe ja 0)? In meinem Kopf weitergesponnen müsste das bei Existenz einer solchen Reihe bedeuten, dass die ersten beliebig endlich vielen Glieder der Reihe keinen Betrag ausmachen und der gesamte Wert der Reihe erst durch den unendlichen Rest entsteht, was ich mir nicht vortellen kann.

Ich hoffe meine Frage ist verständlich. Es geht dabei um meine Bachelorarbeit, deshalb wäre ich euch für Hilfe echt dankbar.

27.04.2018, 12:48

HAL 9000

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Der Oberbegriff um den es hier geht, ist gleichmäßige Konvergenz, bzw. eben deren Nichtgültigkeit im vorliegenden Fall.

Zitat:

Original von Graf_Love (ergänzt)
werde ich kein endliches n finden können, so dass $\begin{eqnarray*} R_n(x) < k \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in einer Umgebung der Sprungstelle gilt, wobei k=1, also die Sprunghöhe ist.

Für feste $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (mit Ausnahme der Sprungstelle selbst) findet man ja sehr wohl jeweils ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , aber eben keins, welches gleichmäßig für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ passt.

Das erst mal generell - deine Frage muss ich erstmal noch näher durchdenken, bzw. überhaupt erstmal begreifen.

27.04.2018, 13:54

Graf_Love

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Ja, das hast du korrekt ergänzt, ich meine dort natürlich in einer Umgebung der Sprungstelle.

Und ergänzend zu meiner Frage meine ich natürlich auch, ob es so beschriebene Reihen gibt, deren Glieder, wie bei den im einleitenden Teil genannten, stetige Funktionen sind. Die Exponentialreihe wäre eine solche Reihe, allerdings ohne die gesuchte Eigenschaft, dass sie irgendwo beliebig langsam konvergiert.

Nun habe ich nach einiger Recherche eine von Darboux 1875 entdeckte Reihe gefunden, die angeblich diese Eigenschaften habe!

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty nxe^{-nx^2}-(n+1)xe^{-(n+1)x^2} \end{eqnarray*}$

Und keinen blassen Schimmer warum. Diese Reihe konvergiert wohl überall zu einer stetigen Funktion, aber unendlich langsam.

27.04.2018, 15:05

Graf_Love

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Nicht einmal Wolfram Alpha kann mir die Funktion visualisieren...,

Zumindest wenn ich mir die Werte bei x=1 in einer Tabellenkalkulation für die ersten 1000 Glieder angucke, scheint die Reihe ziemlich schnell gegen 0,367 (nach 9 Gliedern schon ziemlich genau) zu konvergieren verwirrt

ich fühle mich dümmer als vorher.

27.04.2018, 17:04

Graf_Love

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Gut, die Reihe stellt $\begin{eqnarray*} x*e^{-x^2} \end{eqnarray*}$ dar - shame on me.

Das hier sei der Beweis für die unendlich langsame Konvergenz, bzw. die nicht gleichmäßige Konvergenz in x=0.

https://drive.google.com/open?id=1aYi8aq...PAcwJ4WUh0huly7

Aber warum ist $\begin{eqnarray*} R_n(x)=nxe^{-nx^2} \end{eqnarray*}$ und der $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\rightarrow\infty,x\rightarrow 0}{R_n}= 0 \end{eqnarray*}$ ?

Das sollte die Antwort auf meine einstige Frage liefern.

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