Frage zu einer Substitution

27.04.2018, 14:39

willyengland

Frage zu einer Substitution

In einem anderen Forum hat jemand folgenden Lösungsvorschlag gemacht:
https://www.mathelounge.de/537450/wie-lo...0048x-2-0-072-0

Gleichung: $\begin{eqnarray*} x^3+3x^2-45=0 \end{eqnarray*}$

Vorgeschlagene Lösung:

Substituiere $\begin{eqnarray*} x = \frac{u}{3} +\frac{3}{u} -1 \end{eqnarray*}$

und erhalte $\begin{eqnarray*} (2u^3-1161)^2=1345005 \end{eqnarray*}$

Berechne daraus u und resubstituiere.

Stimmt das und wie kommt man darauf?
Für mich als Anfänger völlig rätselhaft. verwirrt

27.04.2018, 15:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von willyengland
Stimmt das und wie kommt man darauf?

Lies dir mal die ersten drei Zeilen hier durch, dann weißt du, woher die "Inspiration" kommt. Augenzwinkern

-------------------------------

Etwas ausführlicher: Mit Verschiebung $\begin{eqnarray*} x=z-1 \end{eqnarray*}$ bringt man die kubische Gleichung in die Normalform

$\begin{eqnarray*} z^3-3z-43=0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} z^3+pz+q=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p=-3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q=-43 \end{eqnarray*}$

ohne quadratisches Glied. Nun weiter wie im Wiki beschrieben:

Der Ansatz $\begin{eqnarray*} z=u+v \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 3uv=-p=3 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} u^3+v^3=-q=43 \end{eqnarray*}$ führt zum Ziel. Hier konkret bei deiner Gleichung ist also $\begin{eqnarray*} v=\frac{1}{u} \end{eqnarray*}$ und damit insgesamt $\begin{eqnarray*} x=u+\frac{1}{u}-1 \end{eqnarray*}$ .

In dem dir vorliegenden Vorschlag wurde das ganze leicht variiert, indem mit $\begin{eqnarray*} u=\frac{U}{3} \end{eqnarray*}$ gearbeitet wurde, so dass daraus $\begin{eqnarray*} x=\frac{U}{3}+\frac{3}{U}-1 \end{eqnarray*}$ wurde - geschenkt, auch mit $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ kommt man auf eine quadratische Gleichung für $\begin{eqnarray*} u^3 \end{eqnarray*}$ , die sieht sogar noch einfacher aus:

$\begin{eqnarray*} (2u^3-43)^2 = 1845 \end{eqnarray*}$ . smile

27.04.2018, 15:53

willyengland

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Aha!
Cardanische Formeln.
Ja, das habe ich schon mal gehört.
Echt interessant!
Vielen Dank!

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