Verstehe Gleichheit nicht

27.04.2018, 17:42

humpfeldumpf

Verstehe Gleichheit nicht

Meine Frage:
Hallo, ich lasse jetzt mal die Umstände der Gleichungen und Def. weg, weil ich nur nicht diese Gleichung verstehe:

$\begin{eqnarray*} 2\Pi ||f_{n}-f|| = \int_{0}^{2\Pi} \! |f_{n}(x) - f(x)|^2 <br /> \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <f,g> := \frac{1}{2\Pi} \int_{0}^{2\Pi} \! f(x)^*g(x) \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||f|| := <f,f>^\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also es wäre doch dann $\begin{eqnarray*} ||f_{n}-f|| = <f_{n}-f,f_{n}-f>^\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{1}{2/Pi} \int_{0}^{2/Pi} \! (fn(x)-f(x))^*f(x) \, dx} \end{eqnarray*}$
also wie komme ich damit auf die andere Gleichung?

27.04.2018, 18:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von humpfeldumpf
$\begin{eqnarray*} ||f_{n}-f|| = <f_{n}-f,f_{n}-f>^\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{1}{2/Pi} \int_{0}^{2/Pi} \! (fn(x)-f(x))^*f(x) \, dx} \end{eqnarray*}$

Nein, setze bitte richtig in die Skalarproduktformel ein - da steht dann rechts kein bloßes $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ als Faktor im Integranden. Was du da rechts aufgeschrieben hast, entspricht stattdessen $\begin{eqnarray*} \langle f_n-f,f \rangle^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ . unglücklich

P.S.: Ein wenig aufgehübscht

$\begin{eqnarray*} 2\pi \left\|f_{n}-f\right\| = \int\limits_0^{2\pi} \left|f_{n}(x) - f(x)\right|^2 ~ \dd x,\qquad \langle f,g \rangle := \frac{1}{2\pi} \int\limits_{0}^{2\pi} f(x)^* g(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

27.04.2018, 18:30

humpfeldump

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Fehler
Tut mir leid, da habe ich mich vertippt.
Danke für die Aufhübschung, aber ich weiß leider noch nicht wie ich auf die andere Gleichung komme. smile

27.04.2018, 18:34

HAL 9000

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Da muss ich zunächst mal fragen, ob das * bei dir Multiplikationssymbol ist, oder doch eher der Komplex-Konjugationoperator (der sich auf den Term unmittelbar davor bezieht)? Ich nehme ja letzteres an, aber bei deinem ansonsten manchmal merkwürdigem LaTeX weiß man ja nie - zumal du nirgendwo einen Ton darüber hast verlauten lassen, über welchen Funktionenraum du hier sprichst. unglücklich

27.04.2018, 18:41

humpfeldump

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Fehler
Soll die komplexe Konjugation bedeuten.
Es ist f: R -> C

Naja mein Problem war halt jetzt dass die Dozentin gesagt hat man muss nur die Definition einsetzen und dann sieht man die Gleichheit, aber so einfach scheint es ja nicht zu sein?

27.04.2018, 18:44

HAL 9000

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Doch, ist es, denn es gilt ja $\begin{eqnarray*} z^*z=|z|^2 \end{eqnarray*}$ für alle komplexen Zahlen $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ . Das angewandt auf $\begin{eqnarray*} z=f_n(x)-f(x) \end{eqnarray*}$ im Integranden ist die Substanz des Beweises, der Rest ist technischer Krimskrams rundrum, nichts spannendes.

27.04.2018, 18:50

humpfeldump

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Danke
Ok, schonmal danke für diesen Hinweis.
Ich muss aber trotzdem noch Fragen was mit der Wurzel über dem Integral passiert.

Tut mir leid dass ich so frech rüberkomme. unglücklich

27.04.2018, 18:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von humpfeldump
Ich muss aber trotzdem noch Fragen was mit der Wurzel über dem Integral passiert.

Sie wird gezogen. smile

Weiß wirklich nicht, was du mit dieser Frage bezweckst.

EDIT: Ach, jetzt sehe ich erst, was du meinst: In deiner ersten Gleichung fehlt ein Quadrat (und ich habe es oben auch noch treudoof abgeschrieben - man kann einfach nichts und niemanden hier vertrauen):

Es muss natürlich $\begin{eqnarray*} 2\pi \left\|f_{n}-f\right\|^{{\color{red}2}} = \int\limits_0^{2\pi} \left|f_{n}(x) - f(x)\right|^2 ~ \dd x \end{eqnarray*}$ lauten!

27.04.2018, 19:01

humpfeldump

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Danke!
Achso, die Dozentin hatte es wohl auch übersehen.

Aber herzlichen Dank.

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