Frage zum Konvergenzkriterium von Weierstraß

27.04.2018, 15:43	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Frage zum Konvergenzkriterium von Weierstraß Hallo zusammen, folgender Satz der Vorlesung ist mir nicht ganz klar geworden: Sei $\begin{eqnarray} f_n: K \rightarrow \mathbb C , n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ , Funktion und es gelte: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^{\infty } \|\|f_n\|\|_K < \infty \end{eqnarray}$ hier: Supremumsnorm $\begin{eqnarray} := \|\|f_n\|\|_K \end{eqnarray}$ Dann konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^{\infty } f_n \end{eqnarray}$ absolut und gleichmäßig auf K gegen eine Funktion $\begin{eqnarray} F: K \rightarrow \mathbb C \end{eqnarray}$ . Das diese absolut konvergent ist , ist mir klar. Aber was heißt es, dass die Reihe ( also keine Funktionsfolge) gleichmäßig gegen eine Funktion konvergiert ??? Und noch eine Nachfrage : ich lese oft eine Funktionenfolge konvergiert gleichmäßig auf K(oder auch K(a,r) ), was heißt das konkreter ? LG Snexx_Math
27.04.2018, 16:57	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, es sei $\begin{eqnarray} \varepsilon>0 \end{eqnarray}$ gegeben. Punktweise Konvergenz von $\begin{eqnarray} g_n \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ heißt: Wenn man ein $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ fixiert, so kann man ein N so wählen, dass ab diesem N (also für alle $\begin{eqnarray} n\geq N \end{eqnarray}$ ) immer $\begin{eqnarray} \lvert g_n(x_0)-g(x_0)\rvert<\varepsilon \end{eqnarray}$ gilt. Gleichmäßige Konvergenz hingegen bedeutet: Man kann ein N so wählen, dass für alle $\begin{eqnarray} n\geq N \end{eqnarray}$ und für alle möglichen x aus dem Definitionsbereich der Funktion gleichzeitig (bzw.: gleichmäßig) immer $\begin{eqnarray} \lvert g_n(x)-g(x)\rvert<\varepsilon \end{eqnarray}$ gilt. (Anschaulich: Man kann ein so großes N wählen, dass der Graph g_N und alle nachfolgenden Folgenglieder in einem $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ -Schlauch um den Graphen von g verlaufen. Hierzu würde ich mal ein wenig googeln, da gibt es bestimmt schöne Internetseiten zu, wo das anschaulich mit Bildchen erklärt ist. Das absolute Standardbeispiel ist die Funktion mit Term x^n auf dem Einheitsintervall [0,1], die punktweise, aber nicht gleichmäßig konvergiert.) Dies ist die Definition für Funktionenfolgen. Für Funktionenreihen muss man einfach zu den Partialsummen übergehen. Für dich gilt also obige Definition genauso, wobei bei dir gilt: $\begin{eqnarray} g_n(x)=\sum_{k=0}^n f_k(x) \end{eqnarray}$ . LG sibelius84
30.04.2018, 19:27	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen lieben Damk für die nette und ausführliche Antwort. Hat mich auf jeden Fall weitergebracht LG Snexx_Math

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