Duale Funktion eines simplen Constraint-Optimization-Problems

28.04.2018, 16:42	Naryxus	Auf diesen Beitrag antworten »
Duale Funktion eines simplen Constraint-Optimization-Problems Hallo, ich bin nicht ganz so bewandert in dem Thema Optimierung und soll zu einem gegebenen Optimierungsproblem die duale Funktion bestimmen und analytisch lösen. Ich habe das Problem wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} <br /> \max \quad\quad &H(p_1, p_2, p_3, p_4)\\<br /> \text{subject to}\quad\quad &g_1(p_1, p_2, p_3, p_4) = \sum_{i = 1}^4 2p_ii = 4\\<br /> \text{subject to}\quad\quad &g_2(p_1, p_2, p_3, p_4) = \sum_{i = 1}^4 p_i = 1\\<br /> \end{eqnarray}$ Meine Lagrange-Funktion ist dann $\begin{eqnarray} \mathcal{L}(p_1, p_2, p_3, p_4, \lambda_1, \lambda_2) &= H(p_1, p_2, p_3, p_4) + \lambda_1 (g_1(p_1, p_2, p_3, p_4) - 4) + \lambda_2 (g_2(p_1, p_2, p_3, p_4) - 1)&= -(\sum_{i = 1}^4 p_i \log_2 p_i) + \lambda_1 (\sum_{i = 1}^4 (2p_ii) - 4) + \lambda_2 (\sum_{i = 1}^4 (p_i) - 1)\\ \end{eqnarray}$ Dazu soll ich nun die duale Funktion bilden. Diese ist meines Wissens nach wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} G(\lambda_1, \lambda_2) = \max_{p \in [0, 1]^4} \mathcal{L}(p, \lambda_1, \lambda_2) = \max_{p \in [0, 1]^4} (-\sum_{i = 1}^4 p_i\log_2 p_i + \lambda_1(\sum_{i = 1}^4(2p_ii) - 4) + \lambda_2(\sum_{i = 1}^4(p_i) - 1)) \end{eqnarray}$ Und von diesem Punkt an weiß ich leider nicht, wie ich weiter machen soll. Ich habe in einer Quelle gefunden, dass ich eine Fallunterscheidung machen müsste. In den Folien meines Profs hat er $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ durch einen Term mit $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ersetzt. Dabei weiß ich aber nicht, wie er auf den besagten Term gekommen ist. Mir würde jetzt nichts anderes einfallen als verschiedene Werte für $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ durchzuprobieren. Wobei ich auch nicht weiß, wie ich in diese Wahl beispielsweise die Bedingung, dass die Summe aller $\begin{eqnarray} p_i \end{eqnarray}$ gleich 1 sein soll, einfließen lassen kann. Wäre toll, wenn mir jemand einen Anstoß geben könnte. Grüße, Naryxus

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