3-te Wurze einer komplexen Zahl mit Realteil = 0

28.04.2018, 18:47	Suchender3000	Auf diesen Beitrag antworten »
3-te Wurze einer komplexen Zahl mit Realteil = 0 Meine Frage: Hallo, ich hänge momentan an einer Aufgabe aus meiner Hochschulklausur: 3. Wurzel aus ((16-32i)/(-4-2i)) Es soll die kartheische Form angegeben und skizziert werden. Also ich brauche die Form z=x+iy Meine Ideen:* Unter der Wurzel bin ich auf das Ergebnis 8i gegkommen. Also die 3. Wurzel aus 8i. r ist 3. Wurzel aus 8. Nun Fehlt mir der Ansatz, da der Realteil null ist. Somit kann ich den Winkel phi nicht bestimmt. Wenn ich es mir genau überlege, würde ich sagen, dass er 90 Grad beträgt. Wie kann ich phi bestimmen? Am besten in Verbindung mit pi.
28.04.2018, 19:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sqrt[3]8 \end{eqnarray}$ kannst du im Kopf ausrechnen, wenn nicht, nimm den Taschenrechner und schäme dich. $\begin{eqnarray} \sqrt[3]i \end{eqnarray}$ liegt auf dem Einheitskreis und hat den Winkel $\begin{eqnarray} \frac 1 3 \cdot \frac {\pi}2 \end{eqnarray}$ , weil die Multiplikation Winkel addiert. Wenn man $\begin{eqnarray} \frac 1 3 \end{eqnarray}$ drei mal addiert, kommt 1 heraus. Und $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ hat das Argument $\begin{eqnarray} \frac {\pi}2 \end{eqnarray}$ . Übrigens gibt es drei 3. Wurzeln, und die liegen symmetrisch auf dem Kreis.
28.04.2018, 19:26	Suchender3000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Vielen Dank für die schnelle Antwort. dass $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{8} \end{eqnarray}$ = 2 ist weiß ich, aber darum gehts mir ja auch im ersten Schritt nicht. Mir stellt sich hier die Frage, wie ich darauf komme, dass der Winkel $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ ist?? Leider wurde das Thema nur sehr kurz behandelt. In welchem Quadranten des Einheitskreises bin ich hier? 1. oder 2.?
28.04.2018, 19:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir sind im 1. Quadranten, und es ist, wie ich schon sagte $\begin{eqnarray} (e^{{\frac {\pi}6}i})^3=e^{{\frac {\pi}2i}}=i \end{eqnarray}$

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