Erwartungswert gleich 0

28.04.2018, 21:19	anderson94	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert gleich 0 Servus, ich sitze gerade an meinem Stochastik Blatt und hänge seit LÄNGEREM an einer Nummer... Die Angabe abgekürzt: Spiel im Casino. Man bezahlt einen Einsatz E und wirft eine Münze bis Kopf kommt. Man bekommt $\begin{eqnarray} 2^{k-1} \end{eqnarray}$ Euro ausbezahlt, wobei k die Anzahl der Würfe bis Kopf ist. Nun die Frage: Wie ist der Einsatz E festzulegen, damit das Spiel fair ist ( d.h. erwarteter Gewinn 0) das habe ich bis jetzt Sei X die Zufallsvarible die den Gewinn des Casinos pro Spiel angibt. Wertebereich von X = $\begin{eqnarray} \left\{ E-2^{k-1}, k\in \mathbb N \right\} \end{eqnarray}$ P(X=xi) = $\begin{eqnarray} 0.5^{i} \end{eqnarray}$ wobei xi = $\begin{eqnarray} E-2^{i-1} \end{eqnarray}$ und i gibt die Anzahl der Würfe bis Kopf. Die Wahrscheinlichkeiten berechne ich durch eine andere Zufallsvariable T die geometrisch verteilt ist, und die Anzahl der benötigten Versuche bis zum Erfolg (Kopf) angibt P(T=n)= $\begin{eqnarray} p(1-p)^{n-1} \end{eqnarray}$ daher das $\begin{eqnarray} 0.5^{i} \end{eqnarray}$ Nun Wäre doch $\begin{eqnarray} E(x) = \sum\limits_{i=1}^{\infty } (E-2^{i-1})0.5^{i} \end{eqnarray*}$ Nun mein Problem, egal wie ich E wählen sollte, die Reihe divergiert. Habe ich einen Denkfehler bei der Aufstellung der Zufallsvariablen gemacht? Würde mich um eure Hilfe wirklich sehr freuen. Beste Grüße Anderson
28.04.2018, 22:34	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, alles soweit richtig: Der Erwartungswert der Auszahlung ist unendlich! Damit ist das Spiel bei diesem Auszahlungsschema ruinös für das Casino, ganz egal wie hoch man den Einsatz festsetzt.
28.04.2018, 22:53	anderson94	Auf diesen Beitrag antworten »
Servus HAL9000, Danke für deine Antwort! ich war einfach zu versteift und dachte, dass es einen Einsatz geben wird bei dem das Spiel fair werden würde. Naja hat viel Zeit gekostet

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