Diagonalisierbarkeit

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doki1994 Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalisierbarkeit
Meine Frage:
Sei V ein endlichdimensionaler Reeller-VR und F Element END(V) ein Endomorphismus von V mit
F^3=F. Zeigen Sie, dass F diagonalisierbar ist.

Lösung :

Nach dem Satz aus der Vorlesung ist F diaggonalisierbar genau dann, wenn das Minimalpolynom M_F (t) von F nur einfach Nullstellen hat. Im gegebenen Fall ist M_f (t) ein Teiler von (t^3)-t=t(t+1)(t-1), womit die Aussage gezeigt wäre.

Meine Ideen:
Warum kann man aus F^3=F dann (t^3)-t=t(t+1)t-1) folgern.
Meine Überlegung weil jedes F Element END(V) zu einem Polynom im Polynomring K[t] zugeordnet werden kann?
Oder jedes F Element End(V) besitzt ein Char.Poly?
ist dann (t^3)-t=t(t+1)t-1) das Char.Poly von F und da dies schon einfache Nullstellen hat, ist ja das Char.poly=Minimalpoly und nach dem Satz aus der VL vom Minimpoly ist F genau dann Diagonale, wenn Minimpoly einfache Nullstellen hat ,wie in der Lösung gezeigt.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn t Eigenwert von F ist und v Eigenvektor, dann gilt .
Wende diesen Vektor auf an und Du erhältst . F besitzt also drei verschiedene Eigenwerte und ist damit diagonalisierbar.
doki1994 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey habe die Aufgabe bewusst ins Forum gestellt.
Das war die Aufgabe in der Übung und in der Prüfung war die selbe Aufgabe aber als F^3=f^2 + 2F gestellt.
Hatte es auch mit dem Eigenvektor gemacht, aber gab 0 Punkte in der Prüfung, der Professor meinte, man darf den Eigenvektor nur angeben, wenn es in der Aufgabe definiert ist und das die einzige Lösung nur mit dem Minimalpolynim funktioniert.

Ah du meinst das von F^3 - F zu t^3 -t annehmen kann , wenn man
F(v)=tv anwendet richtig ?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du einen korrekte Lösung präsentierst, die auf den Stoff zurückgreift, den ihr in der Vorlesung hattet, kann Dir der Prof keine 0 Punkte geben. Entweder sah dein Weg anders aus, oder Du hast ihn nicht klar genug dargelegt. Sollte beides nicht zutreffen und Du fällst aufgrund dessen durch die Prüfung, würde ich mich an anderer Stelle beschweren.

Zur Aufgabe: Ich hab oben eigentlich schon klar dargelegt, wie mein Rechenweg aussieht.

Wegen gilt speziell für den zum Eigenwert t gehörigen Eigenvektor die Beziehung

Diese Gleichung besitzt für drei verschiedene Werte von t unendlich viele Lösungen.
doki1994 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey genauso hatte Ich es auch gemacht, aber der Prof meinte es ist falsch, denn man darf in dieser Aufgabe keinen Eigenvektor annehmen, solang es nicht in der Aufgabe definiert ist, man kann die Aufgabe nur mit dem Minimalpolynom lösen -.-
hatte die Aufgabe wie du gelöst und es hieß 0 Pkt, weil man keinen Eigenvektor annehmen kann -.-

Hatte es genauso wie du da oben aber es hieß, dass geht nicht.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Dann halt ohne Eigenvektor:
Wegen gilt für eine beliebige Darstellungsmatrix auch bzw .
Das Minimalpolynom ist demnach ein Teiler von . Aufgrund der einfachen Nullstellen ist p bereits das Minimalpolynom und F somit diagonalisierbar.
 
 
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