Gruppenaxiome untersuchen

29.04.2018, 02:29

mathestudentinm

Gruppenaxiome untersuchen

Meine Frage:
Hallo,
ich soll überprüfen ob die Menge der ganzen Zahlen mit der Verknüpfung a*b = a+2b eine Gruppe ist, bzw. angeben welche der Axiome erfüllt sind und welche nicht.
Ich weiss bereits, dass hierfür die 3 Axiome erfüllt sein müssen.
1) (a*b)*c = a*(b*c)
2) e*a = a*e = a
3) a*a^-1 = a^-1*a = 0
Meine Frage ist jetzt ob das einfach reicht wie ich es formuliert habe..??

Meine Ideen:
1) (a+2b)+c = a+(2b+c).
2) 0+a+2b = a+2b+0 = a+2b.
3) a+(-a)+2b+(-2b) = -a+a+(-2b)+2b = 0.

daraus folgt: die Menge der ganzen Zahlen verknüpft mit der Addition ist eine Gruppe.

29.04.2018, 10:04

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

im Matheboard!

Bis jetzt sehe ich da noch keinen Nachweis der drei Gruppenaxiome.

Fangen wir mal mit der Assoziativität an. Zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} (a*b)*c=a*(b*c) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a,b,c \in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kannst du beide Seiten mit der Definition der Verknüfung $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ ausrechnen:
Die linke Seite ist $\begin{eqnarray*} (a*b)*c=(a+2b)*c \end{eqnarray*}$
Wie würde es da weitergehen? $\begin{eqnarray*} (a+2b)+c \end{eqnarray*}$ ist jedenfalls falsch.

29.04.2018, 12:23

mathestudentinm

Auf diesen Beitrag antworten »

Gruppenaxiome untersuchen
Also wenn ich die def. der verknüpfung anwende folgt:

(a*b)*c = (a+2b)*c = c+(a+2b).

wenn ich darauf dann die assoziativität anwende folgt:

(a*b)*c = (a+2b)*c = c+(a+2b) = (c+a)+2b = c+a+2b.

ist das richtig?

29.04.2018, 16:16

mathestudentinm

Auf diesen Beitrag antworten »

gruppenaxiome überprüfen
ich hab etwas rumprobiert und bin auf folgendes gekommen:

0+((a+2b) + (-a-2b)) = (0+(a+b)) + (-a-2b) = 0

wobei die assoziativität der addition gilt,
die inversen zu a+(-a) =0 und zu 2b+(-2b)=0 sind, 0=0 element aus den ganzen zahlen,
-a und -2b aus den ganzen zahlen zugelassen

ich hab das gefühl die aufgabe ist leicht zu lösen. mein problem ist ich weiss nie wo ich anfangen soll.

29.04.2018, 16:41

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gruppenaxiome untersuchen

Zitat:

Original von mathestudentinm
Also wenn ich die def. der verknüpfung anwende folgt:

(a*b)*c = (a+2b)*c = c+(a+2b).

Wie oben schon gesagt, ist das leider falsch.

Du musst doch nur richtig in die Definition einsetzen:
$\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{a}*\textcolor{blue}{b}=\textcolor{red}{a}+2\textcolor{blue}{b} \end{eqnarray*}$

Was ist dann also $\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{(a+2b)}*\textcolor{blue}{c} \end{eqnarray*}$ ?

29.04.2018, 21:44

mathestudentinm

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gruppenaxiome untersuchen
danke für die farbhilfe Big Laugh