Ungleichung zeigen

29.04.2018, 15:21

defter

Ungleichung zeigen

Meine Frage:
z.z.: $\begin{eqnarray*} f(x^2)\geq n \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} f(x):= |\left\{ p \in \mathbb{P}| p\leq x \right\} | \end{eqnarray*}$ für n>=2.

Wobei P die Menge der Primzahlen ist.

gegeben Ungleichung: $\begin{eqnarray*} \frac{ln(2)}{4}*\frac{x}{ln(x)} \leq f(x) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe probiert per Induktion zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} n\leq \frac{ln(2)}{4}*\frac{x}{ln(x)} \end{eqnarray*}$ , was natürlich nich gelten muss für alle n>= 2 aber das wäre natürlich dann relativ einfach gewesen. Die Identität gilt aber erst ab einer "großen Zahl" Big Laugh

29.04.2018, 15:22

defter

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Sorry n=x !

29.04.2018, 15:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von defter
gegeben Ungleichung: $\begin{eqnarray*} \frac{ln(2)}{4}*\frac{x}{ln(x)} \leq f(x) \end{eqnarray*}$

Ok, damit weißt du $\begin{eqnarray*} f\left(x^2\right)\geq \frac{\ln(2)}{8}\cdot \frac{x^2}{\ln(x)} \end{eqnarray*}$ , und damit ist die Behauptung schon mal klar für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{\ln(2)}{8}\cdot \frac{x^2}{\ln(x)} \geq x \end{eqnarray*}$

Letzteres ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} g(x)\geq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} g(x):=\frac{\ln(2)}{8}x-\ln(x) \end{eqnarray*}$ . Man überprüft $\begin{eqnarray*} g(44)>0 \end{eqnarray*}$ , außerdem ist $\begin{eqnarray*} g'(x)=\frac{\ln(2)}{8}-\frac{1}{x}\geq \frac{\ln(2)}{8}-\frac{1}{44} > 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\geq 44 \end{eqnarray*}$ , insgesamt also tatsächlich $\begin{eqnarray*} g(x)>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\geq 44 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} x<44 \end{eqnarray*}$ nützt die gegebene Ungleichung nichts, dort wird man die Behauptung $\begin{eqnarray*} f(x^2)\geq x \end{eqnarray*}$ "zu Fuß" nachweisen müssen.

29.04.2018, 21:37

defter

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Ja, meinst du ln(x^2) ?

29.04.2018, 21:48

defter

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Schon gut, danke für die Hilfe!

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