Nichttriviale Normalteiler

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FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »
Nichttriviale Normalteiler
Hallo, ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe und bedanke mich schonmal im Voraus:

___________________________________________________________________________


(a) Zeigen Sie, dass jede Gruppe der Ordnung 40 und jede Gruppe der Ordnung 30 einen nichttrivialen (d.h und ) Normalteiler besitzt.

(b) Seien und zwei verschiedene Primzahlen. zeigen Sie, dass jede Gruppe der Ordnung einen nichttrivialen Normalteiler besitzt.
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Meine Ideen:
Also meiner Meinung nach stinkt die Aufgabe schon fast förmlich nach den p-Sylowsätzen, also fang ich einfach mal an so weit wie ich bei der a) gekommen bin:

Sei eine Gruppe der Ordnung 30 = 2*3*5, wobei dies alles Primzahlen sind. Man wende nun den 3. Sylowsatz an und erhält für die Anzahl der p-Sylowgruppen:





Behauptung, mindestens eine der 3 Zahlen ist gleich 1.

Angenommen dies gelte nicht, d.h. (5 und 3 analog), und .
Die 15-zyklischen Untergruppen sind bis auf das Einselement paarweise disjunkt, da jedes Element außer dem Neutralen einer Gruppe mit Primzahlordnung Erzeugendes ist. Den die Ordnung eines solchen Elementes muss sein und nach dem Satz von Lagrange auch ein Teiler von , was aber nur selbst erfüllt da es eine Primzahl ist. Haben also 2 Gruppen das gleiche Element, werden sie beide von dem erzeugt und sind somit gleich.

in gibt es Elemente der Ordnung 2 und analog Elemente der Ordnung 3 sowie Elemente der Ordnung 5.

Aber was ein Widerspruch ist.

Also hat man zu mindestens einer der Ordnungen 2, 3, 5 nur eine Untergruppe, welche ein nichttrivialer Normalteiler sein muss. Ist ja die einzige Untergruppe ihrer Ordnung...
zinR Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nichttriviale Normalteiler
Hi. Das sieht eigentlich richtig aus.

(Statt die drei Fälle getrennt zu behandeln, könntest du die selbe Rechnung auch mit beliebigem machen, der Widerspruch entsteht ja schon durch . Aber das ändert ja nichts am Beweis.)

Hast du eine Idee für Aufgabe (b) (und eine Lösung zum anderen Teil von Aufgabe (a))?
 
 
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, erstmal danke fürs antworten. Ich hab jetzt eigentlich nur die mit der Ordnung 30 gemacht. Auf den ersten Blick hätte ich die mir Ordnung 40 aber auch so probiert mit:

mit Primzahl, kein Teiler von .

Das müsste dann mit passen...
zinR Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du das genauer ausführen? Was ist, wenn ich die zyklische Gruppe betrachte? Sie hat nur triviale Normalteiler, aber Ordnung .

Du solltest dich auf jeden Fall auch noch an der Aufgabe (b) versuchen. Augenzwinkern
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also der zweite Teil zur a):

Sei eine Gruppe mit Ordnung . Dann gilt analog zu a)




Also gibt es nur eine 5-Sylowgruppe, die damit Normalteiler ist.

b)

(*)


Angenommen es gibt keinen trivialen Normalteiler, dann sind und somit . Wegen (*) folgt das es ein gibt mit:

und analog
Daraus wiederum folgt einmal und , was natürlich net sein kann.

da Primzahl und



Noch zu zeigen: es gibt trivialen Normalteiler in Gruppe der Ordnung Analoges Vorgehen wie in a) liefert:




So und an der Stelle hab ich irgendwie hart verkáckt! Wenn ich jetzt wie oben annehme das dann komme ich auf keinen Widerspruch, da:

???
zinR Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht auf jeden Fall nach einem lustigen Beweis aus. (Einen Fehler konnte ich auf die Schnelle nicht entdecken.) Ich glaube aber, du hast dich verzählt:

Zitat:
???


Die rot markierte 2 sollte wohl eher eine 4 sein, da deine 2-Sylowuntergruppen die Ordnung 4 haben. Damit solltest du den gewünschten Widerspruch erhalten. (Bemerke, dass deine 2-Sylowuntergruppen nicht mehr Primzahlordnung haben, und du daher nicht auf die oben durchgeführte Weise die paarweise Disjunktheit folgern kannst!)

Eher so: Du hast Elemente der Ordnung 3, es bleiben also nur Elemente in der Gruppe, und die 2-Sylowuntergruppen (die je 4 Elemente haben) können kein Element der Ordnung 3 enthalten. Also kann es nur eine 2-Sylowuntergruppe geben, und das ist dein Normalteiler.
(Genau das gleiche Argument funktioniert schon, bevor du deinen Beweis auf den Spezialfall reduzierst.)

Abschließend: Ich bin zwar kein Experte, aber ich glaube nicht, dass jedes Element der Gruppe auch in einer Sylowuntergruppe liegen muss (und daher kann es passieren, dass bei dieser Methode kein Widerspruch entsteht).
Beispiel: Die Gruppe hat 12 Elemente. Das Element hat Ordnung 6, denn , und liegt daher nicht in einer Sylowuntergruppe. (Diese haben ja die Ordnungen 4 und 3.)
FelNa1109 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, danke für die Antwort. Aber kannst du mir bitte noch erklären, warum meine 2 Sylowgruppen jetzt Ordnung 4 haben? Das verstehe ich nicht! Danke
zinR Auf diesen Beitrag antworten »

Sei eine Gruppe, eine Primzahl. Eine Untergruppe heißt -Sylowuntergruppe, wenn und ist der maximale Exponent mit .
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