Lebesgue-Kriterum für Riemann-Integrierbarkeit anwenden |
| 29.04.2018, 19:40 | python_15 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Lebesgue-Kriterum für Riemann-Integrierbarkeit anwenden Ich bräuchte eure Hilfe bei folgender Aufgabe. Ich soll das folgende mit dem Lebesgue-Kriterium zeigen: Sind zwei Riemann-integrierbare Funktionen auf einem abgeschlossenen Quader und ist stetig, so ist auch die Funktion definiert durch Riemann-integrierbar. Zu zeigen, dass die Menge der Unstetigkeitsstellen von eine Nullmenge ist, war kein Problem. Dass beschränkt auf ist, bekomme ich allerdings nicht hin... Hätte jemand einen Hinweis für mich? Danke und LG python_15 |
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| 29.04.2018, 20:19 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi, das mit der Beschränktheit ist merkwürdig und ich wüsste jetzt gar nicht zu sagen, ob die allgemein so gilt. Sicher ist phi auf Q beschränkt, als stetige Funktion. Aber die Paare (f(x),g(x)), die man nun in phi einsetzt, müssen i.A. gar nicht aus Q kommen... Könnte man da nicht anders herangehen? Es gibt doch dieses Kriterium: f ist Riemann-integrierbar genau dann, wenn bzgl. jeder mit n indizierten Zerlegung Z_n gilt, dass O(Z_n)-U(Z_n) eine Nullfolge bildet, wobei O=Obersumme, U=Untersumme. Im |R^n dann entsprechend mit "Oberquader" und "Unterquader" (bzw. genauer: "Umquader" und "Inquader"). Könnte man dies nicht für f und g benutzen und dann mit der Stetigkeit von phi irgendwie auf phi(f,g) übertragen? LG sibelius84 |
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| 29.04.2018, 22:00 | python_15 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das stimmt schon, aber die Argumente für kommen sehr wohl aus . Und wir wissen ja, dass f und g fast überall auf Q stetig sind...
Laut Aufgabenstellung ist das Kriterium von Lebesgue zu verwenden... Hat sonst noch jemand Ideen (oder ist auch der Meinung, dass das i.A. nicht gilt)? |
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| 29.04.2018, 23:46 | python_15 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Versuch eines Beweises: Zu zeigen ist, dass auf beschränkt ist, also dass auf beschränkt ist. Wir wissen, dass selbst beschränkt ist, also finden wir eine kompakte Obermenge , auf der definiert und stetig ist (weil definiert und stetig auf ganz ). Damit ist beschränkt, also auch . Geht das so durch? |
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| 30.04.2018, 18:37 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du hattest in deinem Ausgangspost geschrieben, zu zeigen dass die Unstetigkeitsstellen der Funktion phi(f,g) eine Nullmenge N bilden, sei kein Problem gewesen. Auf Q\N ist phi(f,g) demnach beschränkt. Auf Q im Allgemeinen nicht. Aber mit dem Lebesgue-Kriterium sollte man nun zeigen können, dass phi(f,g) auf Q\N integrierbar ist, und daraus schlussfolgern können, dass dies auch auf Q der Fall ist (denn Nullmengen sind bekanntlich dem Integral egal). |
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| 01.05.2018, 14:42 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Lebesgue-Kriterum für Riemann-Integrierbarkeit anwenden @python Passt so. @sibelius Riemann-integrierbarkeit ist generell nur für beschränkte Funktionen auf beschränkten Mengen definiert. Alles andere heißt uneigentlich Riemann-integrierbar. Sonst wäre die "genau dann wenn" Aussage beim Lebesgue-Kriterium falsch. |
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| 01.05.2018, 17:23 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hmm, ok, aber wie siehts dann mit dem ersten Beispiel im Folgenden aus? https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsch...ntegrierbarkeit |
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| 01.05.2018, 17:51 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kannst du den Einwand präziser formulieren? |
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| 01.05.2018, 23:15 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die dort genannte Funktion erfüllt - auf dem beschränkten Intervall [0,1] -, dass f(1/q)=q für , ist also unbeschränkt. Da sie dies aber nur auf einer Nullmenge ist, ist sie dennoch riemann-integrierbar. Meintest du so etwas wie 'im Wesentlichen beschränkt'? So etwas hatte ich nämlich oben bei dem Quader Q\N auch im Kopf... |
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| 02.05.2018, 05:47 | IfindU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Deine Funktion und die von Wikipedia sind verschieden. Deine Funktion wäre nirgends stetig und unbeschränkt. |
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| 02.05.2018, 16:04 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt - Ober- und Untersumme sind ja über Supremum und Infimum definiert, das würde ja sonst gar nicht funktionieren. Wenn man Lebesgue gewohnt ist, ist es manchmal schwierig, sich in Riemann "zurückzudenken"... |
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| 31.05.2018, 15:19 | python_15 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@IfindU: Danke! ;-) |
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