Wahrscheinlichkeit P(X<Y)

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LuciaSera Auf diesen Beitrag antworten »
Wahrscheinlichkeit P(X<Y)
Meine Aufgabe ist es, die Wahrscheinlichkeit von P(X<Y) zu berechnen, für und das Ergebnis zu interpretieren.

Berechnet habe ich es so:


1.Frage: Ist das so korrekt?

2.Frage: Wie interpretiere ich das nun? Ich habe zwar herausgefunden, dass das der Exponentialverteilung sowas wie die Zahl der erwarteten Ereignisse pro Einheitsintervall ist, doch inwiefern hilft mir das? verwirrt
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

ich bekomme da raus. Wahrscheinlich meintest du das? Dann stimmt dein Ergebnis (ggfs. noch auf den selben Nenner bringen, um die Gleichheit zu erkennen).

Genau, das der Exponentialverteilung ist so etwas wie die Anzahl der erwarteten "Unfälle" (oder "Zwischenfälle") pro Einheitsintervall. Die Exponentialverteilung wird nämlich zB benutzt, um die Lebensdauer von Geräten zu modellieren. Es ist dann die erwartete Lebensdauer.

Also, falls groß ist und klein, dann ist es unwahrscheinlich, dass Gerät Y länger durchhält als Gerät X. Andernfalls umgekehrt.

LG
sibelius84
LuciaSera Auf diesen Beitrag antworten »

Ah genau stimmt so sieht es besser aus danke.

Genau, aber wofür brauche ich dann dieses spezielle Ergebnis? Also wenn ich durch meine Lebensdauer kenne, ist es doch auch ohne diese Berechnung klar, dass das von dir beschriebene der Fall ist.

Oder heißt das einfach nur, dass die Wahrscheinlichkeit davon, dass Gerät Y länger durchhält als Gerät X eben genau diese besondere Berechnung ist? Und bewegt sich wirklich nur im Intervall (0,1) (=Einheitsintervall)? Das kann ich mir kaum vorstellen irgendwie... oder verstehe ich etwas falsch?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es ist auch ohne diese Berechnung im Grunde grob klar. Durch eben genau diese besondere Berechnung hat man es nun aber wirklich genau bestimmt und dingfest gemacht.

Du kannst lambda als ein Maß dafür interpretieren, wie schlecht ein Gerät ist. Hohes lambda = hohe Wahrscheinlichkeit pro Intervall, dass es ausfällt. Natürlich "bewegt" sich lambda nicht nur im Einheitsintervall. Es geht nur um eine Bemessungsgrundlage. Wenn der eine sagt "ich hatte im Einheitsintervall 4 Ausfälle" und der andere sagt "ich hatte im Intervall [0,3] 64 Ausfälle", dann muss man erst kompliziert rumrechnen, um zu sehen, welches Gerät nun besser (bzw. nicht schlechter) als das andere ist. Wenn man's auf das Einheitsintervall 'eicht', kann man direkt vergleichen.
LuciaSera Auf diesen Beitrag antworten »

Ah okay - danke für diese tollen Erklärungen! Freude

Hast du vielleicht auch einen Hinweis für den zweiten Teil meiner Aufgabe?
Berechnen Sie für den Spezialfall die Korrelation Corr(L,M) mit L=min(X,Y), M=max(X,Y).

Wenn , dann habe ich doch genau den Fall bzw. .

Und die Korrelation ist ja:


Wie gehe ich nun aber mit der Angabe von L und M um? Brauche ich eine Fallunterscheidung oder so etwas in der Art?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Varianz der Exponentialverteilung ist doch , oder? Ich gehe davon aus, dass du das nachgucken und benutzen darfst. Für die Kovarianz gibt es eine Definition, vermutlich auch über ein Integral, das musst du berechnen, um die Kovarianz zu bestimmen.
 
 
LuciaSera Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich das weiß ich alles. Aber mich irritiert das L=min(X,Y) und M=max(X,Y)...

Wenn mein L=X ist, muss ja natürlich M=Y sein und umgekehrt. Doch die Corr(X,Y) sollte doch gleich die Corr(Y,X) sein oder?
LuciaSera Auf diesen Beitrag antworten »

Könnte das so stimmen?



Also sind X und Y unkorreliert.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei dem Schritt E(XY)= hast du implizit angenommen, die beiden seien unkorreliert. Kein Wunder, dass es dann zu folgen schien Augenzwinkern

Für die Kovarianz steht auf wikipedia in jedem Fall eine Formel, aus der man für E(XY) schließen kann: . Nur was ist hier f(x,y)? Da bin ich gerade nicht sicher. Wenn man einfach das Produkt der Dichten nähme, hätte man dann nicht auch wieder implizit Unkorreliertheit angenommen? verwirrt
LuciaSera Auf diesen Beitrag antworten »

Da meine Zufallsgrößen X und Y unabhängig sind gilt doch E(XY)=E(X)E(Y) oder nicht? Ich habe nicht Unkorreliertheit angenommen sondern Unabhängigkeit ist gegeben.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Um mal einen Anstoß zu geben: Gesucht wird zunächst



Dazu braucht man die Verteilungen von . Jedenfalls ist mir kein anderer Weg eingefallen. Ich benutze im Folgenden die übliche Notation für Verteilungen und Dichten. Es ist



Dabei wurde die Unabhängigkeit von und ausgenutzt. Ähnlich findet man . Aus den Verteilungen bekommt man die Dichten und aus den Dichten die Erwartungswerte.

Weiter ist



Die obere Grenze der Integration folgt aus . Damit sollte man alles ausrechnen können.

Edit: Es gibt eine Vereinfachung. Denn es ist . Also . Insgesamt also

sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte vorher noch nirgendwo gelesen, dass X und Y unabhängig sein sollen. Wenn dies so wäre, könnte man ja sofort, ohne jegliche Rechnung, auf Unkorreliertheit, also auf Cov(X,Y)=0 schließen. Ich vermute nicht, dass dem so ist - sondern fürchte, dass du rechnen musst, dazu hat ja Huggy einiges geschrieben und bereitgestellt.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

@sibelius84

Deine Antwort ist mir nicht recht verständlich. Es steht zwar nirgends, dass und unabhängig sein sollen, aber ohne das könnte man nicht bestimmen, ohne etwas über die Art der Abhängigkeit zu wissen.

Gefragt ist aber nicht nach . Das ist dann 0. Gefragt ist nach . und sind aber nicht unabhängig.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Finger1 Erst hatte ich es nicht richtig geblickt und mir einen Moment lang noch gedacht, warum denn jetzt plötzlich L und M, die heißen doch X und Y. Dann hatte ich mich von LuciaSera's (wohl korrektem, aber nicht zielführenden) Versuch der Berechnung von Cov(X,Y) in die Irre leiten lassen. Stand voll auf dem Schlauch - gut, dass du geholfen hast Freude
Bin mal gespannt ob sie sich noch meldet, jetzt bin ich voll im Bilde und könnte wieder einsteigen, Wesentliches hast du ja schon beigesteuert.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist noch eine Vereinfachung eingefallen, die ich oben hinzueditiert habe.
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