A^2 diagonalisierbar und A invertierbar -> A diagonalisierbar

30.04.2018, 00:35

Dmpartyrock

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A^2 diagonalisierbar und A invertierbar -> A diagonalisierbar

Meine Frage:
Hallo,
die genaue Aufgabenstellung Befindet sich im Anhang.

Meine Ideen:
Als erstes habe ich gesagt: Da A^2 diagonalisierbar ist -> Es existiert eine invertierbare Matrix S, sodass S^{-1}*A^{2}*S gleich eine Diagonalmatrix ergibt.Habe dort versucht,dass irgendwie umzuformen, sodass sich A irgendwie auf dieselbe Art und Weise wie A^2 darstellen lässt.Läuft schlecht bis jetzt.

Der zweite Weg wäre, dass man über diese Definition geht:
?Ist A^2 diagonalisierbar, so zerfällt das Minimalpolynom vollständig in paarweise verschiedene linearfaktoren.?Darüber müsste ich irgendwie folgern können, dass auch das Minimalpolynom von A in paarweise verschiedene linearfaktoren zerfällt.
Habe aber keine Ahnung, wie ich da weiter vorgehe.Wäre für Tipps und Anregungen offen.

01.05.2018, 11:16

doki1994

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RE: A^2 diagonalisierbar und A invertierbar -> A diagonalisierbar
Hey versuche mal meine Idee darzustellen, falls was Falsch ist bitte drauf Hinweisen.

Sei A^2 diagonalisierbar dann gibt es ein S Element GL(n,K) somit

D= S^-1 * A^2 * S ,dass kannst du ja umformen zu

A^2=S * D * S^-1 (es gilt ja A^k = S^-1 * D^k *S)

Dann ist A=S * D^0.5 * S^-1

Da sehen Wir ja das beide die selbe Basis bestehend aus Eigenvektoren von V haben.

Beide sind ähnlich zu einer Diagonalmatrix.

Das war Ja auch deine Idee, vielleicht kannst du damit was anfangen.

Ich erinnere mich nicht mehr gab es nicht einen Satz der sagt,

Sei A^K diagonalisierbar, dann sind alle A^k-1 mit k ungleich 0 diagonalisierbar ?

zu a)

Versuche mal so deuten was für die Matrix bedeutet das K=C ist und was invertierbarkeit bedeutet, also die Definitionen, dann siehst du ja schon warum die Antwort positiv ist.

01.05.2018, 13:42

Dmpartyrock

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Muss nicht vorher A diagonalisierbar sein,damit A^k=s^{-1}*D^k*S gilt?

01.05.2018, 13:52

doki1994

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Sei A diagonalisierbar dann gib es ein S Element GL(n,K).

A=S*D*S^-1

A^2=A*A=(S*D*S^-1)(S*D*S^-1)=S * D * S^-1 * S * D * S^-1
=S * D * E * D * S^-1
=S * D^2 * S^-1

So funktioniert es auch.

Hmm denke bei der Aufgabe sollte man zur Sicherheit beide Richtungen zeigen die von eben und die obige.

01.05.2018, 14:16

Dmpartyrock

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Aber die Vorraussetzung, die du für den Beweis benutzt, ist doch genau das was wir beweisen wollen 😄

01.05.2018, 14:40

doki1994

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Hmm
Ich bin davon ausgegangen das, dass wird als erstes das bewiesen haben :

Sei A^2 diagonalisierbar dann gibt es ein S Element GL(n,K) somit

D= S^-1 * A^2 * S ,dass kannst du ja umformen zu

A^2=S * D * S^-1 (es gilt ja A^k = S^-1 * D^k *S)

Dann ist A=S * D^0.5 * S^-1

Da sehen Wir ja das beide die selbe Basis bestehend aus Eigenvektoren von V haben.

Beide sind ähnlich zu einer Diagonalmatrix.

und dann von A aus nach A^2 nochmal beweisen :

Sei A diagonalisierbar dann gib es ein S Element GL(n,K).

A=S*D*S^-1

A^2=A*A=(S*D*S^-1)(S*D*S^-1)=S * D * S^-1 * S * D * S^-1
=S * D * E * D * S^-1
=S * D^2 * S^-1

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01.05.2018, 16:02

Dmpartyrock

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Sei A^2 diagonalisierbar und M(x) das Minimalpolynom von A^2 mit $\begin{eqnarray*} M(A^{2})=\left(A^{2}-\lambda_{1}\right)*\left(A^{2}-\lambda_{2}\right)*....*\left(A^{2}-\lambda_{n}\right)=0 \end{eqnarray*}$ ,wobei alle $\begin{eqnarray*} \lambda_{i} \end{eqnarray*}$ paarweise verschieden sind.
Dann gilt auch: $\begin{eqnarray*} S(A)=\left(A-\sqrt{\lambda_{1}}\right)*\left(A+\sqrt{\lambda_{1}}\right)*...*\left(A-\sqrt{\lambda_{n}} \right)*\left(A+\sqrt{\lambda_{n}}\right)=0 \end{eqnarray*}$ ,wobei alle $\begin{eqnarray*} \lambda_{i} \end{eqnarray*}$ paarweise verschieden sind.
Wie kann ich jetzt noch zeigen,dass S(x) das minimalpolynom von A ist?

01.05.2018, 16:11

doki1994

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Also nach dir ist

A^2 diagonalisierbar und das zugehörige Minimalpolynom ist

M(A^2)=(A^2−»_1)&#8727 traurig

traurig

A^2−»_2)∗....&#8727 traurig

traurig

A^2−»_n)=0 .

Da lambda_i paarweise verschieden ist, ist das Charpolynom :

P(A^2)=(A^2−»_1)&#8727 traurig

traurig

A^2−»_2)∗....&#8727 traurig

traurig

A^2−»_n)=0

Wenn Wir zeigen wollen, dass S(A) das Minimalpolynom von A ist,

müssen Wir ja zeigen, dass S(A) ein Teiler des Charpoly ist.

Sei P(A) das charpoly von A, dann musst zu zeigen, dass

S(A)|P(A). Da lambda_i paarweise verschieden sind ist ja wieder Charpoly=minimalpoly,dann ist es ja schon gezeigt.

01.05.2018, 16:21

Dmpartyrock

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Woher weist du das S(x) das charakteristische Polynom ist.Reicht es etwa, das S(A)=0 und $\begin{eqnarray*} S\in K[x] \end{eqnarray*}$ als Bedingungen,damit S das charakteristische polynom ist.

01.05.2018, 16:30

doki1994

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Sei F eine Abbildung und P_F Element K[t] und das Charpoly hat paarweise verschiedene Eigenwerte dann hat es ja die Form :

P_F(t)= (k-t_1)*...*(k-t_j)

und dann hat man Ja eine Diagonalmatrix mit paarweise verschiedenen Eigenwerte an der Diagonale.

Daraus folgern wir, dass zu jedem Eigenwert t_i der größte Jordanblock d_i=1

Da das Minimalpolynom die Darstellung

M_F(t)=( (k-t_1)^d_1 )*...*((k-t_j)^d_j)

da wir wissen, dasss dann d_1=.....=d_j=1 folgt für das Minimalpolynom

M_F(t)= (k-t_1)*...*(k-t_j)

somit ist deine Aussage gezeigt.

01.05.2018, 16:36

Dmpartyrock

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Jordanblöcke hatten wir noch nicht in meiner Vorlesung und ich verstehe deinen Beweis leider auch nicht,weil er etwas unübersichtlich ist,da du ja kein latex benutzt.Also eigentlich kann das ja nicht so schwer sein.Ich muss ja nur noch zeigen,dass S(x) das Minimalpolynom von A ist.Es gilt ja S(A)=0 und $\begin{eqnarray*} S\in K(x) \end{eqnarray*}$ .Da S(x) vollständig in paarweise verschiedene linearfaktoren zerfällt,ist S(x) minimal ?Dann frage ich mich, weshalb die Matrix invertierbar sein muss.

01.05.2018, 16:41

doki1994

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Ah ok
d.h ihr hattet das Minimalpolynom und Cayley Hamilton und die Jordannormalform noch nicht ?

Dann musst du wohl zeigen, dass dein S(A) ein Teiler vom Charpoy ist von A.

01.05.2018, 16:42

Dmpartyrock

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Genau und wie kann ich das zeigen Big Laugh

Big Laugh

.Ich habe meinen Beitrag noch editiert..

01.05.2018, 16:44

doki1994

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Jede Matrix die eine Diagonalgestalt annimmt ist ja Invertiertar, weil

A=SDS^-1

A^-1=S(D^-1)S gilt.

01.05.2018, 16:50

doki1994

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Ich denke es reicht zu sagen, dass A diagonalisierbar ist, und daraus folgt, dass das Minimalpolynom einfache Nullstellen hat, somit ist S(A) | P(A).

01.05.2018, 17:37

Dmpartyrock

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Das ist doch das was ich zeigen will.Weshalb ist A diagonalisierbar?

01.05.2018, 17:41

doki1994

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Weil wir ja gezeigt haben , dass A eine Basis bestehend aus Eigenvektoren hat, die selbe Basis wie A^2

{Sei A^2 diagonalisierbar dann gibt es ein S Element GL(n,K) somit

D= S^-1 * A^2 * S ,dass kannst du ja umformen zu

A^2=S * D * S^-1 (es gilt ja A^k = S^-1 * D^k *S)

Dann ist A=S * D^0.5 * S^-1

Da sehen Wir ja das beide die selbe Basis bestehend aus Eigenvektoren von V haben.}

01.05.2018, 17:45

Dmpartyrock

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Also den einen Satz mit A^K haben wir nie bewiesen und ich glaube um den zu beweisen, braucht man als vorraussetzung das A diagonalisierbar ist.Und ich verstehe auch nicht wie du auf D^0.5 kommst.Gibt es überhaupt Wurzeln von Matrizen ?Und woher willst du wissen,dass D^0.5 diagonalisierbar ist?

01.05.2018, 17:52

doki1994

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Also ,wenn

D=diag(t_1,...,t_j)

t_i sind die Eigenwerte

diag beinhaltet die Eigenwerte von der Diagonalmatrix und die restlichen Koeffizienten sind 0

Wenn du die Wurzel von D ziehst , dann ziehst die Wurzel der Eigenwerte die bei diag aufgelistet sind, deshalb kann man bei Diagonalmatrizen Wurzel ziehen

D^0.5 ist doch schon eine Diagonalmatrix die von A

D ist die Diagonalmatrix von A^2

01.05.2018, 17:58

Dmpartyrock

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Also,ich darf den Satz mit A^k nicht verwenden und die Beweise von dem Satz,die ich gesehen habe, gehen nur in die eine Richtung,dass wenn A diagonalisierbar ist, das dann folgt das A^n diagonalisierbar ist und nicht andersrum.Du gehst ja aber in die andere Richtung. Big Laugh

Big Laugh

01.05.2018, 19:30

Guppi12

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RE: A^2 diagonalisierbar und A invertierbar -> A diagonalisierbar

Zitat:

Original von doki1994
Hey versuche mal meine Idee darzustellen, falls was Falsch ist bitte drauf Hinweisen.

Sei A^2 diagonalisierbar dann gibt es ein S Element GL(n,K) somit

D= S^-1 * A^2 * S ,dass kannst du ja umformen zu

A^2=S * D * S^-1 (es gilt ja A^k = S^-1 * D^k *S)

Dann ist A=S * D^0.5 * S^-1

Darf ich hier mal einhaken? Was ist bei dir $\begin{eqnarray*} D^{0.5} \end{eqnarray*}$ ? Bist du hier noch bei einem beliebigen Körper oder schon im Fall, dass $\begin{eqnarray*} K=\mathbb C \end{eqnarray*}$ ?

01.05.2018, 20:12

doki1994

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RE: A^2 diagonalisierbar und A invertierbar -> A diagonalisierbar
Ja klar smile

smile

Also D ist die Diagonalmatrix von A^2

und D^0.5 ist die Diagonalmatrix von A.

Ich war noch in einem beliebigen Körper

01.05.2018, 20:20

Guppi12

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Dann setzt du aber wirklich bereits voraus, dass A diagonalisierbar ist, oder wie sonst konstruiert du D^0.5 aus D?

01.05.2018, 20:38

doki1994

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Ich hab gedacht , wenn A^2 diagonalisierbar ist gibt es ja eine Matrix D mit dieser Gestalt und S Element Gl(n,K):

D=S^-1 * A^2 * S umgeformt. A^2=S * D * S^-1

Es ist ja A^k=S* D^k * S^-1

A^2= S * D * S^-1 = (S * D^0.5 * S^-1) *( S * D^0.5 * S^-1)= A*A

Da A^2 diagonalisierbar ist nach Voraussetzung und eine Basis bestehend aus Eigenvektoren von V hat die wir in S auflisten und A dieselbe Basis hat so ist A auch diagonaliserbar und hat die Darstellung A= S * D^0.5 * S^-1 umformuliert

D^0.5=S^-1 * A * S

02.05.2018, 10:11

Guppi12

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Warum soll denn A die selbe Basis aus Eugenvektoren haben, wie kommst du darauf?

02.05.2018, 10:43

doki1994

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Hmm glaube habe meinen Fehler gefunden :/

S kann ja bei der Darstellung für A^2 und A gleich sein, aber wenn sie für A^2 eine Basis bestehend aus Eigenvekotoren ist, dann muss es ja nicht für A sein.

Wie muss man denn bei dieser Aufgabe denn Anfangen ?

02.05.2018, 14:33

Guppi12

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Zitat:

Original von Dmpartyrock
Sei A^2 diagonalisierbar und M(x) das Minimalpolynom von A^2 mit $\begin{eqnarray*} M(A^{2})=\left(A^{2}-\lambda_{1}\right)*\left(A^{2}-\lambda_{2}\right)*....*\left(A^{2}-\lambda_{n}\right)=0 \end{eqnarray*}$ ,wobei alle $\begin{eqnarray*} \lambda_{i} \end{eqnarray*}$ paarweise verschieden sind.
Dann gilt auch: $\begin{eqnarray*} S(A)=\left(A-\sqrt{\lambda_{1}}\right)*\left(A+\sqrt{\lambda_{1}}\right)*...*\left(A-\sqrt{\lambda_{n}} \right)*\left(A+\sqrt{\lambda_{n}}\right)=0 \end{eqnarray*}$ ,wobei alle $\begin{eqnarray*} \lambda_{i} \end{eqnarray*}$ paarweise verschieden sind.
Wie kann ich jetzt noch zeigen,dass S(x) das minimalpolynom von A ist?

Ich finde diesen Ansatz nicht schlecht, vielleicht ist $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ nicht das Minimalpolynom, aber auf jedenfall ist es ein Teiler davon. Damit hat das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ keine doppelten Faktoren.

02.05.2018, 15:46

Dmpartyrock

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Du meinst S enthält das Minimalpolynom ? Und weshalb hat das Minimalpolynom keine doppelten Faktoren,weil S auch keine doppelten Faktoren hat ?

02.05.2018, 17:05

Guppi12

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Nein, ich meine das Minimalpolynom von A teilt S. Ich weiß nicht, was mit enthalten bei Polynomen gemeint sein soll.

02.05.2018, 17:40

Dmpartyrock

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Das meinte ich.Ist das offensichtlich oder muss ich das noch beweisen,dass das minimalpolynom von A S teilt.Und wenn ja, wie kann ich da am besten vorgehen ?

02.05.2018, 17:48

Guppi12

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Du musst doch selbst wissen, ob ihr die Aussage schon hattet oder ob du sie noch beweisen musst.

Jedes Polynom P, das A als Nullstelle hat, muss vom Minimalpolynom geteilt werden, das folgt, wenn man P mit Rest durch das Minimalpolynom teilt.

Ein ähnliches Argument habt ihr sicher irgendwo schon bei der Eindeutigkeit des Minimalpolynoms gehabt.

02.05.2018, 22:59

Dmpartyrock

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Ok,damit hätte man ja das ganze schon o gut wie bewiesen,wenn man es zusammenfügt.Ich frage mich nur dann ,wo die Invertierbarkeit von A noch rein muss.

02.05.2018, 23:09

Guppi12

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Wie genau folgerst du, dass S paarweise verschiedenen Nullstellen hat? Könnten da nicht zwei gleiche Faktoren vorkommen?

03.05.2018, 01:14

Dmpartyrock

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Wenn alle $\begin{eqnarray*} \lambda_{i} \end{eqnarray*}$ paarweise verschieden sind,dann folgt doch auch,dass alle $\begin{eqnarray*} \mp \sqrt(\lambda_{i}) \end{eqnarray*}$ paarweise verschieden sind

03.05.2018, 08:08

Guppi12

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Warum kann nicht $\begin{eqnarray*} \sqrt{\lambda_i} = -\sqrt{\lambda_i} \end{eqnarray*}$ für irgendein i gelten?

03.05.2018, 15:03

Dmpartyrock

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Weil die Quadratwurzel eindeutig ist? verwirrt

verwirrt

03.05.2018, 15:11

Guppi12

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Es gibt in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ keine ausgezeichneten Wurzeln, es gäbe also durchaus mehrere mögliche Wahlen von $\begin{eqnarray*} \sqrt{\lambda_i} \end{eqnarray*}$ .

Das ist aber nicht der Punkt. Es kann doch durchaus sein, dass für den festen Wert $\begin{eqnarray*} z := \sqrt{\lambda_i} \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} z = -z \end{eqnarray*}$ , was spricht denn dagegen? Es ist ja nicht so, als hätte diese Gleichung keine Lösung in den komplexen Zahlen..

03.05.2018, 16:31

Dmpartyrock

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Ich habe keine Ahnung,aber es wäre cool wenn du mich aufklären könntest. Big Laugh

Big Laugh

03.05.2018, 17:54

Guppi12

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Es ist -0 = 0, du musst dir also überlegen, warum 0 keines der Lambda ist.

Übrigens: um darauf zu kommen, musstest du doch nur z= -z nach z auflösen, wäre das so schwer gewesen?

03.05.2018, 19:13

Dmpartyrock

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Da A invertierbar sein soll,kann die 0 kein Eigenwert bin A sein,sonst wuerde das einen Widerspruch ergeben.

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