third central moment

01.05.2018, 09:37

BlackTiger684

third central moment

Let $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ be a continuous random variable with expected value $\begin{eqnarray*} m_{1} = E(X) \end{eqnarray*}$ .
Let the density function be symmetrical with respect to $\begin{eqnarray*} m_{1} \end{eqnarray*}$ , i.e., $\begin{eqnarray*} p(m_{1}-x) = p(m_{1}+x), 0 \leq x <\infty \end{eqnarray*}$ .

Show that:
$\begin{eqnarray*} \mu_{3} = E[(X-m_{1})^3] = 0 \end{eqnarray*}$

My ideas:
$\begin{eqnarray*} E[X^3-3X^2E(X)+3XE(X)^2+E(X)^3]=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E(X^3)-3E(X)E(X^2)+3E(X^2)E(X) - E(X^3)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E(X^3) - E(X)^3 = 0 \end{eqnarray*}$

Leider ergeben meine Umformungen nicht 0. Was mache ich falsch.
Danke!

01.05.2018, 10:05

HAL 9000

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Die Behauptung ist unvollständig formuliert:

Es ist $\begin{eqnarray*} E\left[\left(X-m_1\right)^3\right] = 0 \end{eqnarray*}$ , sofern dieser Erwartungswert überhaupt existiert! Das ist nämlich mit den anderen Voraussetzungen allein keineswegs gesichert, Gegenbeispiel

$\begin{eqnarray*} p(x) = \begin{cases} \frac{1}{|x|^3} &\;\mbox{für}\;|x|\geq 1\\ 0 &\;\mbox{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Nun Ok, setzen wir zusätzlich also die Existenz voraus. Dann ist per Substitution $\begin{eqnarray*} t=m_1+x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mu_3 = \int\limits_{-\infty}^{\infty} (t-m_1)^3 p(t) ~ \dd t = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x^3 p(m_1+x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

Jetzt das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Integral aufteilen $\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^0 + \int\limits_0^{\infty} \end{eqnarray*}$ ...

Zitat:

Original von BlackTiger684
Leider ergeben meine Umformungen nicht 0. Was mache ich falsch.

Das ist ja auch kein Wunder: An keiner Stelle nutzt du die Symmetrie der Dichte. Und ohne diese Symmetrie ist die Behauptung ja auch falsch.

01.05.2018, 12:18

BlackTiger684

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Danke!

Das hat mir geholfen

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