Extremstelle berechnen

01.05.2018, 20:49

Rotfuchs

Extremstelle berechnen

Ich soll eine Kurvendiskussion der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = (1+(x^2))/(1-(x^2)) \end{eqnarray*}$ erstellen und bin dabei auf ein Problem gestoßen:

Beim Berechnen der Nullstellen, hab ich die Funktion f(x) gleich 0 gesetzt und hab dabei aber $\begin{eqnarray*} (x^2) = -1 \end{eqnarray*}$ erhalten. Das heißt die Funktion hat keine Nullstellen richtig (bzw keine reelle)?

Beim Berechnen der Wendestellen, hab ich dann die 2. Ableitung gleich 0 gesetzt:
$\begin{eqnarray*} 0 = (-12*(x^4))+(8*(x^2))+4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = (-12*(x^4))+(8*(x^2))+4 \end{eqnarray*}$
Damit konnte ich dann nichts anfangen und deswegen hab ich eine Polynomdivision versucht. Aber auch die hat zu keinem Ergebnis geführt... Also gibt es auch keine Wendestellen, richtig?

01.05.2018, 21:32

willyengland

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Beides richtig.
Das köntnest du auch leicht selbst rausfinden, indem du die Funktion plottest:

02.05.2018, 13:20

Rotfuchs

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Danke!

Ich weiß, aber ich wollte einfach wissen, ob meine Begründung richtig ist, damit ich das dann bei der Prüfung auch anwenden kann Augenzwinkern

02.05.2018, 13:30

klarsoweit

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Was die Untersuchung nach Wendestellen angeht, würde ich gerne Wissen, was für eine Art von Polynomdivision du versucht hast. Bei der bi-quadratischen Gleichung kannst du x² = u substituieren und dann nach Nullstellen suchen.

02.05.2018, 13:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Rotfuchs
Beim Berechnen der Wendestellen, hab ich dann die 2. Ableitung gleich 0 gesetzt:
$\begin{eqnarray*} 0 = (-12*(x^4))+(8*(x^2))+4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = (-12*(x^4))+(8*(x^2))+4 \end{eqnarray*}$
Damit konnte ich dann nichts anfangen

Hinweis: Bei Anwendung der Quotientenregel, wenn im Nenner bereits eine Potenz steht, ist es nicht sonderlich klug, den Zähler sofort voll auszumultiplizieren - zunächst mal ist Kürzen angesagt!

Den vorliegenden Fall betreffend

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{4x}{(1-x^2)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x) = \frac{4\cdot (1-x^2)^2-4x\cdot 2(1-x^2)(-2x)}{(1-x^2)^4} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt also NICHT den Zähler ausmultiplizieren, sondern zunächst ein $\begin{eqnarray*} (1-x^2) \end{eqnarray*}$ kürzen!!!

$\begin{eqnarray*} f''(x) = 4\frac{(1-x^2)-x\cdot 2(-2x)}{(1-x^2)^3} = 4\frac{1+3x^2}{(1-x^2)^3} \end{eqnarray*}$ .

Dann muss man auch keine (hier) überflüssigen Polynomdivisionen anstellen.

Eine weitere Alternative, wo das von vornherein vermieden wird, wäre die Ableitung nach Produktregel angewandt auf $\begin{eqnarray*} f'(x) = 4x(1-x^2)^{-2} \end{eqnarray*}$ .

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