DGL mit Substitution

01.05.2018, 22:14

forbin

DGL mit Substitution

Hallo Leute und schönen ersten Mai!

Ich sitze wieder an zwei DGL:[attach]47074[/attach]

Meine Ansätze sind leider nicht wirklich erfolgreich....

zu b)
Wenn ich nun wie geschrieben $\begin{eqnarray*} v(x) := y-4x \end{eqnarray*}$ setze, kommt ja $\begin{eqnarray*} y' = v(x)^{2} \leftrightarrow y = \frac{1}{3}v(x)^{3}+C \end{eqnarray*}$ dabei raus.
Aber wenn ich nun resubstituiere, erhalte ich ja wieder y auf der rechten Seite, und da scheitert es bisher.
Ist der Weg denn überhaupt der richtige?
Ich habe schon mal versucht, dort die Integration durch Substitution zu basteln, aber das scheitert leider am selben Argument. dann sogar mit y im Nenner.

zu a)
So eine Aufgabe hatte ich noch nie und durch den Feiertag fällt nun auch eine Vorlesung weg. Macht hier ebenfalls eine Substitution Sinn? Dann würde ich sinnigerweise $\begin{eqnarray*} v(x) = \frac{y}{x} \end{eqnarray*}$ setzen, aber das hat mir bisher leider auch keinen wirklichen Erfolg beschert.

01.05.2018, 22:34

Helferlein

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Dein Problem ist, dass Du das Prinzip der Substitution nicht verstanden hast. Genau wie beim Integrieren durch Substitution wird eine Funktion vollständig durch eine andere ersetzt. In deinem Fall wird y durch v ersetzt, so dass eine neue DGL mit v und x entsteht. Es taucht kein y oder y' mehr auf, denn die wurden ja ersetzt.

02.05.2018, 19:25

forbin

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Helferlein, vielen Dank.
Ich habe es nun soweit gebracht:

$\begin{eqnarray*} y' = (y-4x)^{2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u(x) = y-4x \Rightarrow u' = y'-4\Leftrightarrow y'=u'+4 \end{eqnarray*}$

Also:
$\begin{eqnarray*} u'+4 = u^{2} \Leftrightarrow u'-u^{2} = -4 \end{eqnarray*}$

Nun, die homogene Lösung $\begin{eqnarray*} u' = u^{2} \end{eqnarray*}$ löst sich mit $\begin{eqnarray*} u = \frac{-1}{x} \end{eqnarray*}$ .

Bin ich bis hierher auf dem richtigen Weg?

03.05.2018, 00:06

Helferlein

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Nun ja, zum einen ist $\begin{eqnarray*} u(x)=-\frac {1}x \end{eqnarray*}$ nicht die einzige Lösung der DGL u'=u², zum anderen hast Du es wegen u² nicht mit einer linearen Gleichung zu tun.

Trennung der Variablen ist das Verfahren, das Du brauchst.

05.05.2018, 11:07

forbin

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So, jetzt sitze ich wieder an der Aufgabe smile

Also, die korrekte Lösung der homogenen DGL sollte ja sein:
$\begin{eqnarray*} v(x) = \frac{1}{-x+c} \end{eqnarray*}$

Mit dem Hinweis, dass keine lineare DGL vorliegt wolltest du mir sicher mitteilen, dass es auch keine homogene DGL gibt.

Also nochmal:

$\begin{eqnarray*} \frac{dv}{dx} - v^{2} = -4 \end{eqnarray*}$

Nun würde ich ja bei einer homogenen DGL durch $\begin{eqnarray*} v^{2} \end{eqnarray*}$ dividieren, aber das bringt mich ja hier nicht weiter, oder?

$\begin{eqnarray*} \frac{dv}{v^{2}} = dx - 4\cdot \frac{dx}{v^{2}} \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich leider nicht weiter und dieses Thema will mir auch nicht so recht in den Kopf. traurig

Edit:
Oder vielleicht doch Big Laugh

$\begin{eqnarray*} v' = (v+2)(v-2) \Leftrightarrow \frac{dv}{(v-2)(v+2)}=dx \end{eqnarray*}$

Ich melde mich nach der Partialbruchzerlegung wieder Big Laugh

Edit 2:
$\begin{eqnarray*} v' = (v+2)(v-2) \Leftrightarrow \frac{dv}{(v-2)(v+2)}=dx \Leftrightarrow \frac{1}{4}\Big(\int\frac{1}{v-2}dv - \int\frac{1}{v+2}dv\Big) = dx \end{eqnarray*}$

Integration und Zusammenfassen ergibt nun:
$\begin{eqnarray*} ln\Big|\frac{v-2}{v+2}\Big| = 4x+C \Leftrightarrow \frac{v-2}{v+2} = C\cdot e^{4x} \Leftrightarrow v = \frac{2(C\cdot e^{4x}+1)}{1-C\cdot e^{4x}} \end{eqnarray*}$

Nun Resubstituieren...
$\begin{eqnarray*} y = \frac{2(C\cdot e^{4x}+1)}{1-C\cdot e^{4x}} + 4x \end{eqnarray*}$

06.05.2018, 20:35

Helferlein

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Schon deutlich besser Freude

Allerdings liegen im letzten Teil (Ab "Integration und Zusammenfassen") noch ein kleiner formeller Fehler: Wieso sollte die erste Äquivalenz gelten, wo doch $\begin{eqnarray*} e^C>C \end{eqnarray*}$ ?

06.05.2018, 20:42

forbin

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Zitat:

Original von Helferlein
Schon deutlich besser Freude

Bei den Konstanten bin ich mit den Bezeichnungen leider zu nachlässig...
Du willst darauf hinaus, dass die Konstante jedesmal C heißt, obwohl es unterschiedliche sind, richtig?

06.05.2018, 22:01

Helferlein

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So ist es. Zwar spielt es inhaltlich keine Rolle, da wir der Konstanten ja keinen Wert zugeordnet haben, aber sauberer ist eine Unterscheidung schon und Äquivalenz ist an der Stelle auf jeden Fall unangebracht, wenn Du C in Unterschiedlichen Bedeutungen nutzt.

06.05.2018, 22:29

forbin

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Ich achte in Zukunft mehr darauf.

Vielen Dank! Freude

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