Äquivalenz von Normen

02.05.2018, 11:53

Croomer

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Äquivalenz von Normen

Meine Frage:
Sei ||.|| eine beliebige Norm und $\begin{eqnarray*} ||.||_2 \end{eqnarray*}$ die euklidische Metrik mit $\begin{eqnarray*} ||x||_2 = \sqrt{ \sum\limits_{k=1}^{n} |x|^2} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^n \end{eqnarray*}$ .

a) Zeigen Sie, dass es C>0 gibt mit: $\begin{eqnarray*} ||.|| \leq C||x||_2 \end{eqnarray*}$
b) Zeigen Sie, dass es c>0 gibt mit: $\begin{eqnarray*} ||.|| \geq c||x||_2 \end{eqnarray*}$
c) Zeigen Sie, dass alle Normen auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^n \end{eqnarray*}$ äquivalent sind.

Meine Ideen:
Ich habe a) mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung bewiesen und c) mit der Definition der Äquivalenz von Normen.

Aber bei der b) komme ich nicht weiter. Ich habe es mal mit
$\begin{eqnarray*} ||x|| = || \sum\limits_{k=1}^{n} x_ke_k|| = \sqrt{|| \sum\limits_{k=1}^{n} x_ke_k||^2} \end{eqnarray*}$ probiert, aber ich kriege die Norm einfach nicht in die Summe, damit ich die euklidische Norm dann rausziehen kann.

Hat jemand einen Tipp, wie man da weiter kommt?

02.05.2018, 12:05

IfindU

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RE: Äquivalenz von Normen
Die Norm erfüllt die Dreiecksungleichung und ist absolut-homogen. Damit hat mans fast.

Edit: Hölder/Jensen/Cauchy-Schwarz Ungleichung zum Finale.

02.05.2018, 14:10

Croomer

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RE: Äquivalenz von Normen
Geht die Dreiecksungleichung nicht genau in die falsche Richtung? Und homogene bzw. absolut-homogen kennen wir noch nicht.

02.05.2018, 14:22

IfindU

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RE: Äquivalenz von Normen
Ah, entschuldige. Übersehen, dass du die a) schon hast. Und absolute Homogenität ist eine der drei Eigenschaft, die jede Norm erfüllen muss. Kennst du vermutlich bloss unter anderem Namen.

Definiere $\begin{eqnarray*} c = \min_{i=1,\ldots, n} \| e_i \| \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} |x_i| \leq \frac 1 c \| x_j e_j\| \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ . Außerdem gilt $\begin{eqnarray*} \| x_j e_j \| \leq \|x\| \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ . (Ich bin mir wengistesn sehr sicher, dass es gilt, auch wenn ich gerade kein schönes Argument habe.)

Startend mit $\begin{eqnarray*} \|x \|_2^2 \leq \ldots \end{eqnarray*}$ kann man dann fleißig abschätzen.

02.05.2018, 14:54

Guppi12

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Hey, leider gilt $\begin{eqnarray*} \|x_je_j\|\leq \|x\| \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ nicht für beliebige Normen.

Sei $\begin{eqnarray*} A := \begin{pmatrix}1 & 0 \\ -1 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \|x\| := \|Ax\|_2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} x := \binom{1}{1} \end{eqnarray*}$ ist die Ungleichung für $\begin{eqnarray*} j=1 \end{eqnarray*}$ verletzt.

02.05.2018, 15:12

IfindU

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Danke! Das ist "beruhigend", weil ich es eine Weile versucht habe es vergeblichen zu zeigen. Big Laugh

Big Laugh

Für die eukldische Normen stimmen die Aussagen aber, zusammen mit der Äquivalenz der Normen, folgt, dass es ein $\begin{eqnarray*} c_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \| x_i e_i \| \leq c_2 \| x\| \end{eqnarray*}$ existiert. Damit haben wir wenigstens eine wahre Aussage. Frage ist nur wie man es ohne Zirkelschluss zeigt.

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02.05.2018, 15:18

Guppi12

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Der Weg, den ich kenne, nutzt, dass man schon gezeigt hat, dass $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ stetig bzgl. $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_2 \end{eqnarray*}$ ist und die ~~Einheitkugel~~ Einheitssphäre in der euklidischen Norm kompakt ist.

Kann übrigens sehr gut nachvollziehen, dass das beruhigend ist, ich hab auch schon mal versucht, das zu zeigen Big Laugh

Big Laugh

02.05.2018, 15:24

IfindU

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Die Aussage sieht aber auch zu verlockend aus Big Laugh

Big Laugh

Magst du uebernehmen, bevor ich mich hier weiter blamiere? verwirrt

verwirrt

02.05.2018, 15:28

Guppi12

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Klar kann ich machen, finde aber nicht, dass dich das irgendwie blamiert hat smile

smile

@Croomer: Verstehst du, warum richtig ist, was ich im letzten Beitrag geschrieben habe?
Jetzt musst du nur noch überlegen, was man mit Kompaktheit und stetigen Funktionen darauf so anfangen kann.

02.05.2018, 16:57

Croomer

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Dass die Einheitssphere kompakt ist, weiß ich.

Dass ||.|| stetig ist, weiß ich leider nicht.

Meinst du damit, dass x->||x|| bezüglich der euklidischen Norm stetig ist?

02.05.2018, 17:03

Guppi12

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Genau, das folgt aus Teil a), überleg wieso.

02.05.2018, 17:52

Croomer

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Es gilt
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} ||x|| - ||y|| \end{vmatrix} \leq ||x-y|| \leq C ||x-y||_2\leq \epsilon \end{eqnarray*}$ . Also ist das Epsilon-Delta-Kriterium erfüllt.

Hm, wie es weitergeht bin ich mir immernoch nicht sicher.
Jetzt weis ich, dass die Norm ||.|| die Einheitsvektoren auf ein Intervall in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R_+} \end{eqnarray*}$ abbildet, oder? Denn alle Einheitsvektoren sind in der Einheitssphere und werden somit auf eine kompakte Menge abgebildet und in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R_+} \end{eqnarray*}$ sind kompakte Mengen Intervalle.

02.05.2018, 17:56

Croomer

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Es gilt
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} ||x|| - ||y|| \end{vmatrix} \leq ||x-y|| \leq C ||x-y||_2\leq C*\delta \leq \epsilon \end{eqnarray*}$ . Wenn also $\begin{eqnarray*} C*\delta \leq \epsilon \end{eqnarray*}$ gewählt ist, ist das Epsilon-Delta-Kriterium erfüllt.

Hm, wie es weitergeht bin ich mir immernoch nicht sicher.
Jetzt weis ich, dass die Norm ||.|| die Einheitsvektoren auf ein Intervall in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R_+} \end{eqnarray*}$ abbildet, oder? Denn alle Einheitsvektoren sind in der Einheitssphere und werden somit auf eine kompakte Menge abgebildet und in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R_+} \end{eqnarray*}$ sind kompakte Mengen Intervalle.

Oops... Ich wollte doch auf "bearbeiten" und nicht "zitieren" klicken :/

02.05.2018, 18:12

Guppi12

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Die Einheitsvektoren sowieso, das ist aber uninteressant, weil es nur endlich viele sind. Deren Bilder sind immer in einem kompakten Intervall enthalten, auch bei einer unstetigen Abbildung. Es ist schon wichtig, hier mal die gesamte Einheitssphäre zu betrachten. Welche Aussagen bekommst du für diese unter der Abbildung $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ ?

02.05.2018, 18:35

Croomer

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Dan müsste $\begin{eqnarray*} || S_1(0) || = 1 \end{eqnarray*}$ sein.

Kann ich mir ein C aussuchen, sodass
$\begin{eqnarray*} B_C(0) :=\left\{x \in \mathbb{C}^n : ||x||_2 \leq C\right\} \subset S_1(0) \end{eqnarray*}$
gilt? Dann würde aus $\begin{eqnarray*} \frac{1}{C}||x||_2\leq 1=||x|| \end{eqnarray*}$ folgen.

02.05.2018, 18:41

Guppi12

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Nein, kannst du nicht. Insbesondere ist 0 in der einen Menge, aber nicht in der anderen.

Ich geb dir noch einen weiteren Tipp, irgendwie willst du auf den richtigen Satz nicht kommen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es ist $\begin{eqnarray*} c := \min\{\|x\|~\vert~ \|x\|_2 = 1\}>0 \end{eqnarray*}$ .

02.05.2018, 20:23

Croomer

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Ok, ich versuche den nächsten wackeligen Baby-Schritt:

Für jedes x gibt es eine Sphere, in der x liegt.
Da ||.|| stetig ist und jede Sphere kompakt ist, gibt es
$\begin{eqnarray*} c:= min\left\{ ||x|| : ||x||_2 = r \right\} * \frac{1}{r}> 0 \end{eqnarray*}$

Damit ist
$\begin{eqnarray*} ||x|| \geq c * ||x||_2 = c * r = min\left\{ ||x|| : ||x||_2 = r \right\} \end{eqnarray*}$
Das Minimum ist im "schlechtesten" fall genau ||x||, im besten Fall sogar kleiner.

Hoffentlich stimmt das jetzt verwirrt

verwirrt

Aber irgendwie habe ich die Befürchtung, dass das nicht stimmt...
Sonst könnte man für die a) das Ganze ja mit dem Maximum machen und müsste garnicht erst über die Cauchy-Schwarz-Ungleichung gehen.

02.05.2018, 21:04

Guppi12

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Das ist meines Erachtens alles ein wenig sehr kompliziert aufgeschrieben. Man muss erst nachrechnen, dass $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ überhaupt unabhängig von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ist.

Weiter ist es besser lesbar, wenn jedes Ungleichheitszeichen begründet ist, bei dir ist es so, dass das erste Ungleichheitszeichen erst ganz am Ende klar wird, besser wäre

Sei $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \|x\|_2 = r \end{eqnarray*}$ . Dann

$\begin{eqnarray*} c\|x\|_2 = cr = \min\{\|y\|~\vert~ \|y\|_2 = r\} \leq \|x\| \end{eqnarray*}$ .

Damit bist du fertig. Du solltest bloß vielleicht noch ein paar erklärende Worte hinzufügen. Zum Beispiel kurz begründen, warum $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ nicht von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ abhängt.

Etwas übersichtlicher wäre es meiner Ansicht nach so:

Definiere $\begin{eqnarray*} c := \min\{\|x\|~\vert~ \|x\|_2 = 1\}>0 \end{eqnarray*}$ (hier müsstest du übrigens noch begründen, warum das Minimum >0 ist). Für beliebiges $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} \left\|\frac{x}{\|x\|_2}\right\|_2 = 1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} c\leq \left\|\frac{x}{\|x\|_2}\right\| \end{eqnarray*}$ . Jetzt noch mit $\begin{eqnarray*} \|x\|_2 \end{eqnarray*}$ multiplizieren und fertig.

Zitat:

Sonst könnte man für die a) das Ganze ja mit dem Maximum machen und müsste garnicht erst über die Cauchy-Schwarz-Ungleichung gehen.

Das hätte man machen können, wenn man schon von irgendwo anders wüsste, dass $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ stetig ist, das haben wir aber durch Teil a) ja gerade erst gesehen.

02.05.2018, 21:33

Croomer

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Zitat:

Original von Guppi12
Das ist meines Erachtens alles ein wenig sehr kompliziert aufgeschrieben. Man muss erst nachrechnen, dass $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ überhaupt unabhängig von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ist.

Weiter ist es besser lesbar, wenn jedes Ungleichheitszeichen begründet ist, bei dir ist es so, dass das erste Ungleichheitszeichen erst ganz am Ende klar wird, besser wäre

Sei $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \|x\|_2 = r \end{eqnarray*}$ . Dann

$\begin{eqnarray*} c\|x\|_2 = cr = \min\{\|y\|~\vert~ \|y\|_2 = r\} \leq \|x\| \end{eqnarray*}$ .

Damit bist du fertig. Du solltest bloß vielleicht noch ein paar erklärende Worte hinzufügen. Zum Beispiel kurz begründen, warum $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ nicht von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ abhängt.

Wieso hängt c denn überhaupt nicht von r ab? Müsste man dafür eigentlich nicht nochmal das Minimum aller c bilden?

Zitat:

Original von Guppi12
Etwas übersichtlicher wäre es meiner Ansicht nach so:

Definiere $\begin{eqnarray*} c := \min\{\|x\|~\vert~ \|x\|_2 = 1\}>0 \end{eqnarray*}$ (hier müsstest du übrigens noch begründen, warum das Minimum >0 ist). Für beliebiges $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} \left\|\frac{x}{\|x\|_2}\right\|_2 = 1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} c\leq \left\|\frac{x}{\|x\|_2}\right\| \end{eqnarray*}$ . Jetzt noch mit $\begin{eqnarray*} \|x\|_2 \end{eqnarray*}$ multiplizieren und fertig.

Das ist wirklich übersichtlich. Vor allem deutet hier nichts auf eine r-Abhängigkeit hin.

Zitat:

Original von Guppi12
Das hätte man machen können, wenn man schon von irgendwo anders wüsste, dass $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ stetig ist, das haben wir aber durch Teil a) ja gerade erst gesehen.

Ich weiß nicht mal mehr, von wo ich gekommen bin...

02.05.2018, 22:07

Guppi12

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Versuch doch Mal zu zeigen, dass c nicht von r abhängig ist.

02.05.2018, 23:43

Croomer

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Ist es so, weil das Minimum ein fester Vektor, der abhängig von r ist, um genau zu sein proportional zu r? Diese Proportionalität hebt sich durch das 1/r wieder auf. Insgesamt ist c dann unabhängig von r. Deswegen ist r=1 eine so schöne Wahl.

03.05.2018, 00:02

Guppi12

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Ich hatte an einen formalen mathematischen Beweis gedacht.

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