Kern von AB |
| 02.05.2018, 20:00 | doki1994 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Kern von AB Seien A,B Element M(3x3,|R) zwei Matrizen mit den charpolynomen P_A (t) = t^3 - 2t^2 +t P_B (t) = t^3 -7t^2 + 9t -3 Zeigen Sie, dass der Kern von AB die Dimension 1 hat. Meine Ideen: Was man sehen kann 0 ist Eigenwert von P_A aber nicht von P_B D.h A ist nicht Invertierbar aber B ist Invertierbar. D.h det(A)=0 und det(B) ungleich 0 Der Kern existiert nur wenn die Determinante der Matrix 0 ist, d.h wir betrachten weiter P_A , denn somit ist Ja die Dimension des kern von AB , die Dimension des Kerns von A P_A (t) = t^3 - 2t^2 +t =t * (t-1)^2 dim (Eig(A,0))=dim (kern(A-0*E))=dim(ker(A))= 1 Da 0 einfache Nullstelle von P_A ist. Die algebraische Vielfachheit von Eigenwert 0 ist ja die Dimension vom Kern einer Matrix. |
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| 02.05.2018, 20:47 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi, genau, korrekt beobachtet: A ist nicht invertierbar (genauer: Rang(A)=2), und B ist invertierbar (also Rang(B)=3). Wegen des Ersteren folgt bereits , ist dir klar, warum? Nun müsstest du also noch zeigen. Wähle dir eine (zweielementige) Basis (Ax,Ay) von Bild(A) (der Rang ist ja gerade definiert als die Dimension des Bildraums). Wähle Vektoren v, w mit Bv=x und Bw=y - weißt du, warum das möglich ist? Damit wird die selbe (!) Basis zu einer Basis von Bild(AB), also muss dessen Dimension größer oder gleich 2 sein. LG sibelius84 |
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| 02.05.2018, 21:30 | doki1994 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da B invertierbar ist, hat es ja vollen Rang, also rk(B)=3 Warum ist rk(A)=2 , A ist nicht invertierbar und hat nicht vollen Rang, also rk(A)=1 oder 2 oder 0 richtig ? Da wir dim ker(AB) =1 zeigen wollen muss ja rk(A)=2 sein. rk(AB)<= MIN(rk(A),rk(B)) =2 rk(AB)>= rk(A) + rk(B) - n= 2 + 3 -3 = 2 ich |
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| 03.05.2018, 13:11 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die zweite Ungleichung war mir so nicht unmittelbar bekannt. Ich habe ein wenig herumprobiert und kein Gegenbeispiel gefunden. Falls sie so gültig ist und du das irgendwie belegen kannst, müsste das stimmen. War das bei euch eine Aussage in der LA1, oder so? Falls nicht, versuch doch noch einmal über Basen und Dimension zu argumentieren (da ja Rang = Dimension des Bildraums). |
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| 03.05.2018, 13:56 | doki1994 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also hab die Rangungleichung von Sylvester benutzt. Aber merke Grade das A eine (m x n) Matrix sein muss und B eine (n x l) aber man kann ja m=n=l=3 setzen und Sylvester benutzen ? Zu deiner Überlegung: Also man nimmt eine Basis mit 2 Elementen von Bild(A) : (Ax,Ay) Da dim(im(F))=rk(f) gilt folgt ja rk(A)=2 d.h wir wählen jetzt eine Basis mit 2 Elementen von Bild(B) : (Bv,Bw) und setzen Bv=x und Bw=y dann folgt ja rk(AB)=dim Bild(AB) >= 2 da (Ax,Ay)=(ABv,ABw) Wie du sagtest wird die Selbe Basis in die Basis von Bild(AB) abgebildet. Hab ich es richtig verstanden ? |
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| 03.05.2018, 20:05 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, habs auf wikipedia gefunden. Da die zweite Ungleichung gilt, sieht mir dein Beweis - für den Fall n=3 - korrekt aus! Und ja, wenn deine Aufgabe ist etwas für 3x3-Matrizen zu zeigen, und auf wikipedia eine allgemein gültige Ungleichung für m, n, l steht, dann kannst du m:=n:=l:=3 setzen und die Ungleichung dafür anwenden.
Ja.
Nein. Bild B ist dreidimensional. Jede Basis von Bild B hat demnach 3 Elemente. Aber: B ist invertierbar. Daher haben die LGSe Bv=x und Bw=y je genau eine Lösung v bzw. w. Damit kannst du Ax, Ay umschreiben zu ABv, ABw und als zu Bild(AB) gehörig erkennen. (Da es die selben Vektoren sind, sind sie auch weiterhin linear unabhängig.) |
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