Max a+b bei Dreiecken

02.05.2018, 22:37

CarlooSR

Max a+b bei Dreiecken

Meine Frage:
Hallo Zusammen, ich stehe vor einem Geometrieproblem und damit vor einem riesen Berg.

Zu meinem Problem :
Ich kenne die Hypotenuse c=1,25 und die Höhe h= 0,48. Nun möchte ich zunächst die Dreiecksform finden bei der die Strecke a+b am größten ist. Es ist hierbei egal ob es ein gleichschenkliges oder rechtwinkliges Dreieck ist. Die herkömmlichen bekannten Formeln verunsichern mich, da ich nicht genau weiß ob ich nun das Maximum getroffen habe oder nur einen Wert davor.Mathekenntnisse sind bei mir nicht die stärksten, jedoch brauche ich diese Werte für die Berechnung einer Fassade für mein Architekturstudium (es handelt sich um 3D verformte Fassaden)

Meine Ideen:
Ich habe verschiedene Formeln für gleichschenklige sowie rechtwinklige Dreiecke ausprobiert, jedoch bin ich unsicher.
Ich finde leider keine Formel zu MAX U eines Dreieckes, wo die Höhe eine Rolle spielt.

mein Max-Wert für a+b den ich bis jetzt herausbekommen habe ist ~1,687.

Vielen Dank Für eure Hilfe im Voraus!

02.05.2018, 22:43

HAL 9000

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Der Begriff "Hypotenuse" ist ausschließlich für das rechtwinklige Dreieck reserviert, und da für die längste Seite, d.h. die, die dem rechten Winkel gegenüber liegt. Wenn $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ wirklich Hypotenuse ist, dann gibt es de facto gar keine Wahl für $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ , dann stehen die Kathetenwerte (bis auf die Reihenfolge) und damit deren Summe fest: $\begin{eqnarray*} a+b = \sqrt{c^2+2hc} \end{eqnarray*}$ .

Insofern meinst du hier

Zitat:

Original von CarlooSR
Ich kenne die Hypotenuse c=1,25 und die Höhe h= 0,48.

wohl einfach nur die Seite $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ und die darauf stehende Höhe $\begin{eqnarray*} h_c \end{eqnarray*}$ , d.h. ein allgemeines Dreieck. unglücklich

Ohne weitere Einschränkungen gibt es in dieser Konstellation gar kein Maximum, d.h., $\begin{eqnarray*} a+b \end{eqnarray*}$ kann beliebig groß werden.

02.05.2018, 23:12

CarlooSR

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RE: Max a+b bei Dreiecken
Ok also suche ich ein Dreieck mit drei unterschiedlichen Seitenlängen.(ungleichmäßiges Dreieck).

mit der von dir gegebenen Formel komme ich auf (a+b) ~ 1,537.
Ich habe mal eine kleine Zeichnung gemacht von einem Ungleichmäßigen Dreieck.
Für mich klingt das so als wäre es unlösbar, aber irgendwie muss es doch eine lösung geben bei denen die Strecke a+b am größten ist. (zumindest meiner Vorstellung nach Big Laugh

)

Vielen dank schonmal für deine Hilfe

03.05.2018, 06:16

Leopold

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Öffne das Dokument im Anhang mit Euklid. Es demonstriert HALs Behauptung, daß kein Maximum existiere.

03.05.2018, 09:30

HAL 9000

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Ja, irgendeine Einschränkung wird es geben müssen, damit eine derartige Maximumbetrachtung Sinn macht.

1) Vielleicht ist "Hypotenuse" bei dir ja so gemeint, dass $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ die längste der drei Dreiecksseiten sein soll? Dann ist $\begin{eqnarray*} a+b \end{eqnarray*}$ maximal, wenn eine dieser beiden Seiten gleich $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist, d.h., das Dreieck gleichschenklig ist.

Sei etwa $\begin{eqnarray*} a=c \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} b = \sqrt{h^2 + \left(c-\sqrt{c^2-h^2}\right)^2} = \sqrt{2c\left(c-\sqrt{c^2-h^2}\right)} \approx 0.49 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} a+b\approx 1.74 \end{eqnarray*}$ .

2) Oder du meinst "minimal" statt "maximal". Das hättest du dann mittlerweile aber langsam mal merken müssen...

Zitat:

Original von CarlooSR
mit der von dir gegebenen Formel komme ich auf (a+b) ~ 1,537.

Nein: Im rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ und Höhe $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} a+b=\sqrt{c^2+2hc}\approx 1.662 \end{eqnarray*}$ .

03.05.2018, 15:28

CarlooSR

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Oh Ja, das ist es ! Vielen Dank HAL, ich bin von meinem Spezifischen fall ausgegangen, wo c immer die längste Seite ist. Vielen Dank damit ist meine Frage geklärt!

05.05.2018, 17:54

Kääsee

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Ich hab jetzt erst einen PC zur Hand, wollte euch aber noch meine Überlegungen zu der Aufgabe schildern und fragen, ob ihr damit einverstanden seid. Ich denke, CarlooSR ist davon ausgegangen, dass $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ spitze Winkel sein sollen.
Dann könnte man doch tatsächlich ein Maximum wie folgt bestimmen:

Mit Pythagoras:
$\begin{eqnarray*} (c-x)^2+h_c^2=a^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+h_c^2=b^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a+b=\sqrt{(c-x)^2+h_c^2}+\sqrt{x^2+h_c^2} \end{eqnarray*}$

Dann nimmt man dies als Funktion f(x) an und sucht das Maximum:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2(c-x)(-1)}{2\sqrt{...}}+\frac{2x}{2\sqrt{...}}=\frac{x-c}{\sqrt{...}}+\frac{x}{\sqrt{...}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=0\Rightarrow \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x-c)\sqrt{x^2+h_c^2}+x\sqrt{(c-x)^2+h_c^2}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x\left[\sqrt{x^2+h_c^2}+\sqrt{(c-x)^2+h_c^2}\right]-c\sqrt{x^2+h_c^2}=0 \end{eqnarray*}$

Und da bekommt man zunächst eine triviale Lösung für c=0 (und somit auch x=0), andererseits aber auch für c=2x.
Ob es noch andere Lösungen gibt, weiß ich gerade nicht, ich habe es nur durch Probieren herausgefunden.
Die zweite Ableitung zu bestimmen und dann noch nachzuweisen, dass es tatsächlich ein Maximum ist, ist auch etwas aufwändig.

05.05.2018, 18:28

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist nicht variabel, sondern als positiver Wert vorgegeben, die Betrachtung von $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ macht daher keinen Sinn.

Und $\begin{eqnarray*} c=2x \end{eqnarray*}$ , oder besser gesagt $\begin{eqnarray*} x=\frac{c}{2} \end{eqnarray*}$ kennzeichnet kein Maximum, sondern das (globale) Minimum. Rechne die zweite Ableitung aus, dann wirst du das bestätigt finden.

Tatsächlich ist $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{(c-x)^2+h_c^2}+\sqrt{x^2+h_c^2} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \left(-\infty,\frac{c}{2}\right] \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend und auf $\begin{eqnarray*} \left[\frac{c}{2},\infty\right) \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend, es gibt daher kein globales Maximum auf Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , man muss (s.o.) daher den Definitionsbereich geeignet einschränken, wenn man doch eins haben will.

05.05.2018, 18:31

Kääsee

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Ok, schade^^
Wäre eine so schöne Lösung gewesen, wenn die Summe der beiden Seiten maximal werden würde, wenn sie gleich lange sind Augenzwinkern

05.05.2018, 18:41

HAL 9000

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Man kann völlig "analysisfrei" erklären, warum das dort ein Minimum ist:

Man betrachte die Parallele zu $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ , die durch $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ verläuft - die steht ja von vornherein fest, da die Höhe $\begin{eqnarray*} h_c \end{eqnarray*}$ vorgegeben ist (siehe auch Leopolds animierbare Skizze), nennen wir sie $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ . Nun spiegele man $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ an $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , es entstehe Punkt $\begin{eqnarray*} B' \end{eqnarray*}$ . Dann ist offenbar

$\begin{eqnarray*} a+b = |AC| + |CB| = |AC|+|CB'| \geq |AB'|\qquad (*) \end{eqnarray*}$

laut Dreiecksungleichung. Und man rechnet leicht aus $\begin{eqnarray*} |AB'| = \sqrt{c^2+\left(2h_c\right)^2} = \sqrt{c^2+4h_c^2} \end{eqnarray*}$ . Gleichheit in (*) wird genau dann erreicht, wenn $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ auf der Strecke $\begin{eqnarray*} AB' \end{eqnarray*}$ liegt, in diesem Fall halbiert $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ diese Strecke $\begin{eqnarray*} AB' \end{eqnarray*}$ , das ist mit deiner Bezeichnung der Fall $\begin{eqnarray*} x=\frac{c}{2} \end{eqnarray*}$ .

05.05.2018, 18:58

Kääsee

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Wow, danke! Das ist sehr einleuchtend! (Habs mir aufgemalt und konnte es super nachvollziehen).

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