Unterhalbstetig

03.05.2018, 10:29

halbstetig

Unterhalbstetig

Meine Frage:
Eine Funktion ist unterhalbstetig, wenn die Funktionswerte nicht nach unten springen.
Wie kann man dies noch in anderen Worten erklären? Gibt es ein anschauliches Beispiel?

Meine Ideen:
Heißt das also, dass der unterste Wert immer angenommen wird?

03.05.2018, 10:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von halbstetig
Eine Funktion ist unterhalbstetig, wenn die Funktionswerte nicht nach unten springen.

Das ist ein Paradebeispiel dafür, wie man es nicht formulieren sollte - absolut missverständlich. Z.B. ist

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} 0 &\;\mbox{für}\; x=0\\ 1 &\;\mbox{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

unterhalbstetig. Gemäß deiner "Erklärung" würde ich das nicht vermuten. unglücklich

03.05.2018, 10:49

halbstetig

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Das heißt also, dass eine Funktion dann unterhalbstetig ist, wenn ich sie mir an einem Punkt x0 anschaue und die Funktion an diesem Punkt dann den untersten Wert annimmt?

03.05.2018, 11:04

HAL 9000

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Ich fürchte, es gibt keine derart versimpelte Erklärung, welche die notwendige Exaktheit aufweist.

Anschaulich kann man Unterhalbstetigkeit im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ vielleicht so erklären: Für jede unterhalb vom Punkt $\begin{eqnarray*} (x_0,f(x_0)) \end{eqnarray*}$ gezogene Parallele zur $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse gibt es eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , so dass alle Punkte $\begin{eqnarray*} (x,f(x)) \end{eqnarray*}$ des Funktionsgraphen mit $\begin{eqnarray*} x\in U \end{eqnarray*}$ oberhalb dieser Parallele liegen.

Kürzer und einfacher, aber dennoch exakt kriege ich es nicht hin - vielleicht schafft es jemand anders.

03.05.2018, 11:16

halbstetig

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Bei dem Beispiel von Wikipedia (ja ich weiß, keine seriöse Quelle) unter "Halbstetigkeit" müsste ich die Parallele dann so wählen, dass sie auf der x-Achse verläuft, damit die Funktion an der Stelle x0 unterhalbstetig ist, oder?
Oder ich wähle die Umgebung von x0 so klein, dass wirklich nur x0 betrachtet wird. Ansonste hätte ich ja Punkte auf der linken Seite von x0, die unterhalb meiner Parallelen verlaufen würden, wenn ich f(x0) als Wert für meine Parallele nehme?

03.05.2018, 11:25

HAL 9000

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Nein, du "musst" die Parallele keineswegs so wählen. Nochmal: Jede (!) Parallele unterhalb des Punktes muss diese Eigenschaft aufweisen. Und das tut sie dort auch, wenn du auf die untere Grafik in dem Wiki-Artikel zur Halbstetigkeit anspielst.

Zitat:

Original von halbstetig
Oder ich wähle die Umgebung von x0 so klein, dass wirklich nur x0 betrachtet wird.

Das ist Unsinn, offenbar kennst du den Umgebungsbegriff nicht richtig: Eine Umgebung, zumindest hier in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit der euklidischen Metrik, enthält stets mehr als nur den Punkt.

03.05.2018, 11:46

halbstetig

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genau, die zweite Abbildung. Ganz klar scheint es mir wirklich nicht zu sein. Also wäre folgende Aussage nicht korrekt, da es ja jede Parallele sein muss?
Links von dem Punkt x0 in der Abbildung sind die Werte von f(x) ja kleiner als die Werte von f(x0). Also müsste die Parallele umso weiter von x0 entfernt sein, umso größer die Umgebung von x0 gewählt wird?

03.05.2018, 11:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von halbstetig
Also müsste die Parallele umso weiter von x0 entfernt sein, umso größer die Umgebung von x0 gewählt wird?

Du verstehst es einfach nicht: Zuerst wird die Parallele gewählt, dann dazu eine passende Umgebung - NICHT UMGEKEHRT !!!

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