Zufallsvariablen und ihre Verteilungen

03.05.2018, 18:15	pizza123	Auf diesen Beitrag antworten »
Zufallsvariablen und ihre Verteilungen Meine Frage: Hallo, Ich komm bei folgender Aufgabe einfach nicht weiter und es wäre sehr lieb wenn mir jemand helfen könnte: Es werden von einem Unternehmen N Glühbirnen produziert, dabei ist eine Gluhbirne mit einer Wahrscheinlichkeit p $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ (0,1) defekt. Es bezeichne Y die Zufallsvariable (auf einem geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum (?,A,P)), die die Anzahl defekter Glühbirnen angibt. Aus N Gluhbirnen wird zufallig eine Stichprobe aus n Exemplaren herausgenommen; die Zufallsvariable X beschreibe die Anzahl defekter Glühbirnen in dieser Stichprobe. (a) Wie ist Y verteilt? Wie ist die Verteilung von X unter der Bedingung, dass Y=y $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ {0,...,N} ist? (b) Bestimmen Sie die gemeinsame Verteilung von X und Y , das heißt, P(X=x,Y=y). (c) Berechnen Sie nun die Wahrscheinlichkeiten P(Y=y\|X=x), das heißt, die Verteilung von Y , falls X=x gilt. Mit welcher bekannten Verteilung lässt sich das Ergebnis beschreiben? Meine Ideen: u a) Y ist binomialverteilt, da die Birne mit wahrscheinlichkeit p entweder kaputt ist oder mit Wkeit 1-p eben nicht $\begin{eqnarray} \Rightarrow \binom{N}{k}p^k(1?p)^{N?k} \end{eqnarray}$ und P(X=x\|Y=y) ist Hpergeometrisch verteilt mit $\begin{eqnarray} \frac{\binom{y}{x}\binom{N?y}{n?k}}{\binom{N}{n}} \end{eqnarray}$ zu b) Mit der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten gilt P(X=x,Y=y)=P(X=x\|Y=y)P(Y=y)Durch einsetzen von a) kommen wir auf $\begin{eqnarray} \frac{\binom{y}{x}\binom{N?y}{n?k}}{\binom{N}{n}}\binom{N}{y}p^y(1?p)^{N?y} \end{eqnarray}$ Das kann man kürzen zu $\begin{eqnarray} \binom{N?y}{n?x)y}\frac{!n!(N?n)!}{(y?x)!(N?k)!}p^y(1?p)^{n?y} \end{eqnarray}$ zu c) hier habe ich erst mal P(X=x) mir über legt bin mir aber sehr unsicher ich dachte es wäre Hypergemeometrisch verteilt mit $\begin{eqnarray} \frac{\binom{(1?p)N}{n?x}\binom{Np}{x}}{\binom{N}{n}} \end{eqnarray}$ Rechne ich nun aber P(Y=y\|X=x)=P(Y=y,X=x)P(X=x)aus komme ich auf keine mir bekannte Verteilung.
03.05.2018, 18:19	pizza234	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibfehler die ? sind Minuse und in der letzten Zeile müssten das y aus dem Binomialkoeffizenten und auf den Bruch vor die Fakultät. Tut mir leid für die unordnung.
03.05.2018, 18:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Schön, hinterher noch Bastelanleitungen zur Reparatur der Formeln zu verteilen. Normalerweise erledigt man solche Reparaturen selbst, wenn man die Fehler schon erkannt hat! Und selbst wenn man alle ? durch - ersetzt, sind manche Formelterme noch eine Zumutung, z.B. $\begin{eqnarray} \binom{N?y}{{\color{red}n?x)y}}\frac{{\color{red}!}n!(N?n)!}{(y?x)!(N?{\color{red}k})!}p^y(1?p)^{{\color{red}n}?y} \end{eqnarray}$ (ich hab mal die dann immer noch unklaren Stellen markiert). Desweiteren scheint an manchen Stellen $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ statt richtigerweise $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ zu stehen - ein $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ hat im Kontext $\begin{eqnarray} P(X=x,Y=y) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} P(X=x \mid Y=y) \end{eqnarray}$ nichts zu suchen. Kurzum: Eine lesbare Neufassung wäre angebracht.

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