Integral von Wurzel(1+1/x) mittels Substitution

03.05.2018, 18:20	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral von Wurzel(1+1/x) mittels Substitution Hallo Leute, es soll gelöst werden: $\begin{eqnarray} \int\limits_{1}^{2}\sqrt{1+\frac{1}{x}}dx \end{eqnarray}$ mit der Substitution $\begin{eqnarray} t:=\sqrt{1+\frac{1}{x}} \end{eqnarray}$ . Mein Ansatz ist: $\begin{eqnarray} \frac{dt}{dx} = \frac{-1}{2\cdot x^{2}\sqrt{1+\frac{1}{x}}} \Leftrightarrow dx = -2\cdot dt\cdot x^{2}\sqrt{1+\frac{1}{x}} \end{eqnarray}$ So, aber nun komme ich nicht weiter. Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray} \int\limits_{1}^{2}t\cdot(-2)dt\cdot x^{2}\sqrt{1+\frac{1}{x}} \end{eqnarray}$ bilde, fällt ja nichts weg. Auch, wenn ich jetzt den Term $\begin{eqnarray} t := \sqrt{1+\frac{1}{x}} \end{eqnarray}$ nochmal einsetze, dann bleibt ja immer noch $\begin{eqnarray} x^{2} \end{eqnarray}$ übrig. Was mache ich falsch?
03.05.2018, 18:50	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Löse $\begin{align} t = \sqrt{1 + \frac{1}{x}} \end{align}$ nach $\begin{align} x \end{align}$ auf: $\begin{align} x = \frac{1}{t^2 - 1} \end{align}$ , und substituiere $\begin{align} x \end{align}$ . Du erhältst ein Integral über eine rationale Funktion in $\begin{align} t \end{align}$ .
06.05.2018, 00:22	Daniel444	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Nach meiner Rechnung kommt man dann auf das Integral $\begin{eqnarray} <br /> \int_{\sqrt{1+ \frac{1}{1} }}^{\sqrt{1+ \frac{1}{2} } }\! \frac{-2t^2}{(t^2-1)^2} \,dt =\int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{\frac{3}{2} } }\! \frac{-2t^2}{(t^2-1)^2} \,dt<br /> \end{eqnarray}$ dass man durch Umkehrung der Quotientenregel und partieller Integration lösen kann.
10.05.2018, 17:39	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry für die späte Antwort. Diese haben mir aber sehr geholfen, ich habe es raus. @Daniel: Ich habe das gleiche Integral, habe es allerdings mit zweifacher Partialbruchzerlegung gelöst. Wie ist denn die umgekehrte Quotientenregel?
10.05.2018, 18:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe es so gelöst: $\begin{align} \int \limits_{\sqrt{2}}^{\sqrt{\frac{3}{2}}} \frac{-2t^2}{\left( t^2 - 1 \right)^2} ~ \dd t \ = \ \int \limits_{\sqrt{2}}^{\sqrt{\frac{3}{2}}} t \cdot \frac{\dd}{\dd t} \left( t^2 - 1 \right)^{-1} ~ \dd t = \ \left. t \cdot \left( t^2 - 1 \right)^{-1} \right\|_{\, \sqrt{2}}^{\, \sqrt{\frac{3}{2}}} \ - \ \int \limits_{\sqrt{2}}^{\sqrt{\frac{3}{2}}} \frac{\dd t}{t^2 - 1} \end{align}$ Dann das Übliche mit Partialbruchzerlegung.
10.05.2018, 18:56	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Genial! Danke!
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11.05.2018, 02:49	Daniel444	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral von Wurzel(1+1/x) mittels Substitution Noch etwas detaillierter aufgeschrieben: $\begin{eqnarray} <br /> \int\limits_{1}^{2}\sqrt{1+\frac{1}{x}}dx \end{eqnarray}$ mit Substitution $\begin{eqnarray} t=\sqrt{1+\frac{1}{x}} \to x=\frac{1}{t^{2}-1}<br /> \end{eqnarray}$ und Ableitung von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{1}{t^{2}-1} \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} <br /> dx= \frac{-2t}{(t^{2}-1)^{2}}dt <br /> \end{eqnarray}$ erhält man $\begin{eqnarray} <br /> \int\limits_{\sqrt{2}}^{\sqrt{\frac{3}{2}}}\sqrt{1+\frac{1}{\frac{1}{t^{2}-1}}}\cdot \frac{-2t}{(t^{2}-1)^{2}} dt = \int\limits_{\sqrt{2}}^{\sqrt{\frac{3}{2}}}t\cdot \frac{-2t}{(t^{2}-1)^{2}} dt<br /> \end{eqnarray}$ Das Schöne ist hier, dass aus der Substitution die Stammfunktion des Faktors $\begin{eqnarray} \frac{-2t}{(t^{2}-1)^{2}} \end{eqnarray}$ bekannt ist, so dass sich die einfache Partielle Integration anbietet: $\begin{eqnarray} <br /> \int\limits_{\sqrt{2}}^{\sqrt{\frac{3}{2}}}t\cdot \frac{-2t}{(t^{2}-1)^{2}} dt=\left[t \cdot \frac{1}{t^{2}-1}\right]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{\frac{3}{2}}}-\int\limits_{\sqrt{2}}^{\sqrt{\frac{3}{2}}} \frac{1}{t^{2}-1}dt<br /> \end{eqnarray}$ Das verbleibende Integral ist das Grundintegral $\begin{eqnarray} \int\limits_{}^{}\frac{1}{a^{2}-x^{2}} dx=\frac{1}{2a}ln\frac{a+x}{a-x} \end{eqnarray}$ , dass man in jeder Formelsammlung findet. Man könnte es demnach auch mit Verweis darauf einfach hinschreiben. Nachrechnen ist aber auch schön . Ich habe es auch mit Partialbruchzerlegung durchgerechnet, ist halt eine gewisse Rechenarbeit, da zwei Nullstellen doppelt autreten, auch eine schöne Übung.

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