Konstruieren von Vektorräumen

03.05.2018, 18:33	Annette1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Konstruieren von Vektorräumen Meine Frage: Hallo zusammen, ich beschäftige mich gerade mit folgender Aufgabe: "Konstruieren Sie einen Vektorraum V mit 42 Elementen über dem Körper R der reellen Zahlen R, oder zeigen Sie, dass dies unmöglich ist." Meine Ideen: Ich muss zugeben ich bin etwas ratlos hierbei und tue mir schwer überhaupt einen Ansatz zu finden. Könnte mir jemand erklären wie man eine Aufgabe, wo es um das Konstruieren von Vektorräumen geht im Allgemeinen angeht? Ich habe mir den relevanten Teil vom Skript durchgelesen und gehe mal stark davon aus, dass es etwas mit Basisauswahl- und Basisergänzungssatz zu tun hat. Leider kann ich mir gerade nicht vorstellen, wie man diese Sätze hier anwendet, da es meine erste Aufgabe dieses Types ist. Grüße, Annette
03.05.2018, 18:53	sixty-four	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konstruieren von Vektorräume Dann nimm doch mal an, du hättest einen solchen Vektorraum mit den Elementen $\begin{eqnarray} \mathfrak{x_1}, \mathfrak{x_2}, \dots ,\mathfrak{x_{42}} \end{eqnarray}$ . Dann müssen auch $\begin{eqnarray} 2\mathfrak{x_1},3\mathfrak{x_1},4\mathfrak{x_1}, \dots \end{eqnarray}$ Elemente dieses Vektorraumes sein. Hilft dir das schon?
03.05.2018, 19:44	Annette1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht so wirklich, ich habe vielleicht auch dich und die Aufgabe etwas missverstanden. Zu deinem Vorschlag, so wie ich dich verstehe schlägst du vor anzunehmen, dass es einen derartigen Vektorraum gibt und zu zeigen, dass die Skalarmultiplikation aus ihm herausführen würde also es kein Vektorraum ist und somit ein Widerspruch erzeugt wird. Oder verstehe ich dich hier falsch? Bezüglich der Aufgabe selbst, ich habe bisher angenommen, dass ich mithilfe der 42 Elemente eine Basis erstellen soll, welche einen Vektorraum über R aufspannt (bzw. zeigen soll, dass dies unmöglich ist). Wenn ich dich richtig verstanden habe, würdest du es definitiv als 42 elementigen Vektorraum und nicht als 42 elementige Basis verstehen?
03.05.2018, 20:44	sixty-four	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe die Aufgabe so, dass V aus 42 Elementen bestehen soll. Von Basis ist in deinem Text nicht die Rede. Einen 42-dimensionalen Vektorraum (d.h. einen mit 42 Basisvektoren) kannst du natürlich konstruieren. Einen 42-elementigen aber nicht. Da kommst du schnell mit den Eigenschaften eines Vektorraums in Konflikt.
03.05.2018, 21:00	Annette1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmm, okay. Hast wahrscheinlich recht. Nur um sicher zu gehen, habe ich dich mit der Skalarmultiplikation richtig verstanden?
03.05.2018, 21:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm in einem nichttrivialen reellen Vektorraum ein vom Nullvektor verschiedenes Element $\begin{align} \mathfrak{x} \end{align}$ . Wenn nun, wie von sixty-four vorgeschlagen, $\begin{align} n,m \end{align}$ natürliche Zahlen sind, was folgt dann aus $\begin{align} n \mathfrak{x} = m \mathfrak{x} \end{align}$ mit Hilfe der Vektorraumaxiome und ihrer unmittelbaren Folgerungen? Was heißt das für die Mächtigkeit der Menge $\begin{align} \left\{ \, k \mathfrak{x} \, \left\| \, k \in \mathbb{N} \right. \right\} \end{align}$ ?
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03.05.2018, 21:15	sixty-four	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das hast du. Du kannst leicht eine Menge von Vektoren konstruieren, deren Anzahl über die 42 hinausgeht. Damit hast du einen Widerspruch zur Annahme.
03.05.2018, 21:18	Annette1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke für deine Hilfe! Schönen Abend noch!

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