Dimensionsformel (Untervektorraum und lineare Abbildung)

04.05.2018, 10:28	doki1994	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimensionsformel (Untervektorraum und lineare Abbildung) Meine Frage: Wie muss man vorgehen ? Muss man es genauso beweisen, wie für die Dimensionsformel für UVR und Lin.Abbildungen ? Meine Ideen: Also muss Ich eine Basis von ker(F) nehmen dann eine Basis von U geschnitten Im(F) und diese zu einer Basis von F^-1(V) erweitern. Und dann zeigen das dies eine Basis ist ?
05.05.2018, 00:41	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich würde mal die eingeschränkte Abbildung $\begin{eqnarray} F_{\mid F^{-1}(U)}\colon F^{-1}(U)\longrightarrow U,\quad v\mapsto F(v) \end{eqnarray}$ betrachten, kurz begründen, warum sie wohldefiniert und linear ist, und dann die Dimensionsformel für lineare Abbildungen auf sie anwenden. Da müsstest du relativ schnell zur Behauptung kommen. LG sibelius84
05.05.2018, 14:06	doki1994	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey sibelius84, kannst du bitte mit eigenen Worten erklären was Einschränkungen und Invarianten von Abbildungen und VR,UVR sind. Die Definition kenn Ich verstehe es einigermaßen aber brauche eine bessere Erklärung die ich nicht finde. d.h wir kennen Ja die Dimensionsformel für Abbildungen : dim (V) = dim Im(F) + dim ker(F) jetzt haben wir gegeben : dim(F^-1 (U)) = dim (u gesch Im (f)) + dim (ker (f)) U ist ein UVR von V und F : V -> W ist linear. da V=F^-1 (U) deshalb folgt F \| (ist eingeschränkt zu F^-1 (U)) : F^-1 (U) -> U , v \|-> F(v) hab Ich es so richtig verstanden erstmal ? Wohldefiniert, weil wir ja eine Lineare Abbildung in der Aufgabenstellung gegeben haben und V=F^-1 (U) ist und U ein UVR von W somit wird jedes v zu einem F(v) zugeordnet und ist Linear, da F: V->W linear ist. Hmm wie meinst du Dimensionsformel anwenden ?
05.05.2018, 16:50	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Einschränkung ist, wenn man eine Funktion nur auf einem Teilbereich ihres maximalen Definitionsbereiches betrachtet. Wenn wir etwa haben $\begin{eqnarray} f\colon\mathbb R\longrightarrow\mathbb R, \; f(x):=x^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g\colon\mathbb R^+\longrightarrow\mathbb R, \; g(x):=x^2 \end{eqnarray}$ , dann ist g gerade die Einschränkung von f auf die positiven reellen Zahlen, in Zeichen gilt also: $\begin{eqnarray} g=f_{\mid \mathbb R^+} \end{eqnarray}$ . Beachte, dass sich beim Einschränken Eigenschaften verändern können: So ist hier im Beispiel g injektiv, und f nicht. Bei linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen ist es immer ganz sinnvoll, wenn der o.g. Teilbereich ein Untervektorraum ist, damit das alles gut funktioniert. Betrachte etwa $\begin{eqnarray} V:=\mathbb R^3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U:=\left\{\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in \mathbb R^3 \,\vert\, z=0 \right\} \end{eqnarray}$ , das ist gerade die x-y-Ebene. Betrachte als Beispiel die Abbildung innerhalb des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} x\mapsto Ax \end{eqnarray}$ , wobei A=diag(2,3,4) die Diagonalmatrix ist (also mit 2, 3, 4 auf der Hauptdiagonalen und sonst nur Nullen). Die Einschränkung der Abbildung auf U bedeutet, dass z=0 gesetzt wird. Damit fällt die dritte Spalte der Matrix weg und die Abbildungsmatrix der eingeschränkten Abbildung lautet $\begin{eqnarray} B=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Invarianten sind, wie der Name schon ein wenig sagt, Dinge, die sich nicht ändern. Z.B. dass ältere Leute gerne über "die Jugend von heute" schimpfen, ist eine Zeitinvariante (es gibt tatsächlich Aufzeichnungen aus vorchristlichen Jahrhunderten, wo dergleichen schon berichtet wurde). Der Fels ist eine Brandungsinvariante. Allgemein: Wenn man sagt "X ist eine A-Invariante", dann bedeutet das, dass man Veränderungen gemäß A durchführen darf und X dennoch so bleibt, wie es ist. Ein mathematisches Beispiel ist, dass das charakteristische Polynom (mithin übrigens auch die Eigenwerte) und das Minimalpolynom einer Matrix Ähnlichkeitsinvarianten sind: Man darf Ähnlichkeitstransformationen durchführen und sie bleiben aber immer die selben. Oder etwas einfacher: Die Determinante einer quadratischen Matrix ist eine Transpositionsinvariante. Noch ein Beispiel aus der Analysis: Wenn ich "Gewichtung" definiere als Multiplikation mit einer strikt positiven Funktion w(x), dann sind die Nullstellen einer Funktion eine Gewichtungsinvariante. Dein Versuch des Nachvollziehens meines Vorgehens zäumt das Pferd leider ziemlich vom Schwanz auf. Ich fange mal mit deiner Frage an, wie konkret du die Dimensionsformel anwenden kannst. Nun, sagen wir mal, du hast zwei lineare Abbildungen f,g:V->V gegeben. Dann ist beispielsweise auch 2f+3g eine lineare Abbildung V->V. Die Dimensionsformel auf 2f+3g anzuwenden, bedeutet nun einfach folgendes zu konstatieren: $\begin{eqnarray} \dim(\ker(2f+3g))+rg(2f+3g)=\dim(V). \end{eqnarray}$ Es stimmt nicht, dass $\begin{eqnarray} V=F^{-1}(U) \end{eqnarray}$ ist. V ist der gesamte Vektorraum und $\begin{eqnarray} F^{-1}(U) \end{eqnarray}$ ist lediglich ein Teil davon. Es ist aber ein Untervektorraum und daher insbesondere auch selber wieder ein Untervektorraum (im Englischen hieße das ganz nett: " $\begin{eqnarray} F^{-1}(U) \end{eqnarray}$ is a vector space in its own right"). Daher ist, wenn du F darauf einschränkst, F wieder eine lineare Abbildung auf einem Vektorraum, so dass du eben die Dimensionsformel darauf anwenden kannst. Deine Begründung der Linearität hat gestimmt, für die Wohldefiniertheit müsstest du dir noch überlegen, ob wirklich alle Bildvektoren in U liegen (also ob vor allem der Zielbereich wohldefiniert ist) und wenn ja, warum.
05.05.2018, 17:38	doki1994	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank mir ist alles viel klarer geworden. Zur Wohlfefiniertheit : Es reicht ja zu zeigen, dass es Injektiv und Surjektiv ist oder ? Hmm kann Ich argumentieren, dass die eingeschränkte Abbildung eine Isomorphismus ist und somit injektiv und surjektiv somit ist die Wohldefiniertheit gezeigt ?
05.05.2018, 18:52	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Injektiv und surjektiv ist etwas anderes als wohldefiniert. Um wohldefiniert zu sein, muss eine Abbildung noch lange nicht injektiv oder surjektiv sein. (Auch die Nullabbildung ist wohldefiniert!) Wenn ich etwa den Versuch unternehme folgende innere Verknüpfung zu definieren $\begin{eqnarray} S\colon \mathbb N\times\mathbb N \longrightarrow \mathbb N, \, S(m,n):=m-n \end{eqnarray}$ , dann ist das nicht wohldefiniert - denn was tust du, wenn n größer ist als m? Dann ist ja das Ergebnis gar keine natürliche Zahl, also stimmt der Zielbereich nicht. Das entspricht genau dem bereits aus der Grundschule bekannten Sachverhalt, dass man natürliche Zahlen nicht uneingeschränkt subtrahieren kann. Sondern: Meine Verknüpfung S wäre nur zB auf { (m,n) \| m>n } wohldefiniert. Die Funktion $\begin{eqnarray} f\colon\mathbb R\longrightarrow \mathbb R^+,\,f(x):=exp(x)\,(=e^x) \end{eqnarray}$ ist hingegen wohldefiniert, weil ja stets $\begin{eqnarray} e^x>0 \end{eqnarray}$ gilt. Es ist bei dir also viel einfacher. Du musst lediglich begründen, dass, wenn du ein x aus deinem Urbildraum entnimmst, dann das Bild f(x) im angegebenen Bildraum liegt.
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05.05.2018, 20:23	doki1994	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar danke für die Tipps

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