Polynome( dim(V) ist durch 4 Teilbar)

04.05.2018, 11:02

doki1994

Polynome( dim(V) ist durch 4 Teilbar)

Meine Frage:
Wie würdet ihr das Zeigen ?
Ich versuche mal meine Idee zu verdeutlichen?
Kann es aber sein, dass man was mit dem Quotientenvektorraum machen muss :/

Meine Ideen:
Also würde aus F^5=id erst mal umformen

F^5-id=0

Dann v anwenden somit gilt

(F^5-id)v=(x^5-1)v

Wenn wir x^5-1=0 betrachten sehen wir, dass die einzige Lösung x=1 ist,
somit ist ein normierter Teiler x-1 , teilen wir weiter
x^5-1 : x-1 dann folgt x^4+x^3+x^2+x+1

da x^4+x^3+x^2+x+1 keine Nullstellen hat können wir folgern :

dim(V)=5 ist durch 4 Teilbar, denn der normierte Teiler ohne Nullstellen hat Grad 4.

Oder folgt es , weil aus (x^5-1) unglücklich

x-1)= x^4+x^3+x^2+x+1 und daraus

(x^5-1) unglücklich

x^4+x^3+x^2+x+1 )=x-1 und mann sieht wenn man nur die höchsten deg betrachtet

x^5 : x^4 = x

04.05.2018, 18:07

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RE: Polynome( dim(V) ist durch 4 Teilbar)

Zitat:

da x^4+x^3+x^2+x+1 keine Nullstellen hat

Dieses Polynom hat natürlich vier komplexe Nullstellen. Was also meinst du?

Zitat:

dim(V)=5 ist durch 4 Teilbar, denn ...

egal was danach kommt, es kann nur falsch sein.

Ich gebe dir mal ein paar Stichwörter, die ich hier erwarten würde: Charakteristisches Polynom, Minimalpolynom

04.05.2018, 18:34

doki1994

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RE: Polynome( dim(V) ist durch 4 Teilbar)
Hey smile

mit keine Nullstellen meine ich in |Q.

Hab gedacht , weil in der Aufgabe nichts steht darf ich |C nicht betrachten.

hmm also soll ich jetzt mit x^4+x^3+x^2+x+1 weiter machen ?

und Charakteristisches Polynom, Minimalpolynom verwenden oder meinst du vom Anfang also ab F^5-id=0.

04.05.2018, 19:23

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RE: Polynome( dim(V) ist durch 4 Teilbar)

Zitat:

mit keine Nullstellen meine ich in |Q

das dachte ich mir schon. Wie begründest du das? verwirrt

Und wofür brauchst du das?
Edit: Ah, jetzt sehe ich es. Das ergibt sich aus den genannten Teilern, die du lt. Aufgabenstellung benutzen darfst. Allerdings brauchst du die Nullstellenfreiheit hier nicht Augenzwinkern

Überleg dir als erstes, wie dim(V), Charakteristisches Polynom, Minimalpolynom zusammenspielen könnten, um die Behauptung zu zeigen.

05.05.2018, 13:35

doki1994

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RE: Polynome( dim(V) ist durch 4 Teilbar)
Also da F^5 = id ist. folgt ja das dimV=5 ist.

Das Char.Polynom ist ja P_F(t)=t^5-1

Das Minimalpolynom ist ja das. normierte Polynom minimalen Grades , in diesem Fall :

M_F(t)=t-1

Wir wissen ja, dass, das Minimalpolynom das Char.Polynom teilt.

Also : M_F(t) | P_F(t)

Es folgt ja ein Q(t)=t^4+t^3+t^2+t+1

Also P_F(t) : M_F(t) = Q(t) und da Q(t) dimension 4 hat, ist ja dimV durch 4 teilbar.

Mehr kann Ich mir nicht vorstellen

05.05.2018, 15:37

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RE: Polynome( dim(V) ist durch 4 Teilbar)
Das ist leider alles ziemlich falsch geschockt

Zitat:

Also da F^5 = id ist. folgt ja das dimV=5 ist.

Das kann doch im Allgemeinen nicht richtig sein. Für F=id gilt doch sicher auch F^5=id - und das ganz unabhängig von der Dimension des Vektorraumes. Ist F eine Drehung im R^2 um den Winkel $\begin{eqnarray*} 2\pi/5 \end{eqnarray*}$ , dann ist auch F^5=id. Und schließlich, wenn du von der Richtigkeit deiner Aussage überzeugt bist, dann ist es doch schlichtweg Zeitverschwendung zeigen zu wollen, dass dim(V)=5 durch 4 teilbar ist.

Zitat:

Das Char.Polynom ist ja P_F(t)=t^5-1

Wie kommst du darauf?

Zitat:

Das Minimalpolynom ist ja das. normierte Polynom minimalen Grades , in diesem Fall : M_F(t)=t-1

da fehlt leider die wichtigste Eigenschaft des Minimalpolynoms, nämlich dass es Null ergibt, wenn man F einsetzt. Und das ist bei deinem M_F auch sicher nicht der Fall.

Zitat:

da Q(t) dimension 4 hat, ist ja dimV durch 4 teilbar.

Nochmal: Wie kommst du darauf?

Ich empfehle dir, Lesen2

was es mit charakteristischem Polynom und Minimalpolynom auf sich hat.

Einen Tipp gebe ich dir noch: Der Grad des charakteristischen Polynoms ist gleich der Dimension des Vektorraums

05.05.2018, 17:23

doki1994

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RE: Polynome( dim(V) ist durch 4 Teilbar)
Also denke das Char.Polynom ist P_F(t) = t^5 - 1, weil

F^5=id

F^5 -id =0

(F^5 -id)v = (t^5-1)v und folgere P_F(t)= t^5 - 1.

Aber es muss Ja P_F (F) =0 gelten ist hier nicht der Fall also kann es ja nicht stimmen.

Wie findet man denn das Charakteristische Polynom ?

Stimmt M_F(F)=0 sein.

Irgendwie finde ich kein M_F(t).

Eine weiterer Zusammenhang ist. dass das minimalpolynom teilt das charakteristischepolynom.

05.05.2018, 18:57

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RE: Polynome( dim(V) ist durch 4 Teilbar)
Du brauchst das charakteristische Polynom gar nicht explizit. Es reicht der Zusammenhang, den ich dir als Tipp gegeben habe.

Das Minimalpolynom von F teilt nicht nur das charakteristische Polynom von F sondern ausnahmslos jedes Polynom q mit q(F)=0. Insbesondere teilt also das Minimalpolynom von F das Polynom $\begin{eqnarray*} p(t)=t^5-1 \end{eqnarray*}$ .
Die beiden einzigen Teiler dieses Polynoms hat man dir in der Aufgabenstellung schon geschenkt. Du musst jetzt nur herausfinden, welcher der beiden Teiler das Minimalpolynom ist.

05.05.2018, 20:07

doki1994

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RE: Polynome( dim(V) ist durch 4 Teilbar)
Hmm ich verstehe auf was du hinaus willst, aber irgendwie kriege ich es nicht hin :/

Da das Minimalpolynom ja so definiert ist M_F (F)=0

Aber beide Teiler werden nicht 0 :/

wir bekommen F=id oder F^4+F^3+F^2+F+id=0

05.05.2018, 20:16

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RE: Polynome( dim(V) ist durch 4 Teilbar)
Nochmal: Lesen2

Du wirfst hier ständig Halbwahrheiten hin und ich habe Zweifel, dass das nur Bequemlichkeit ist.

Wie begründest du denn, dass beide Teiler nicht Null werden? (Was übrigens nicht stimmt, nur einer von beiden wird nicht Null, und das reicht. Der andere muss dann schon zwangsläufig das Minimalpolynom sein)

05.05.2018, 21:34

doki1994

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RE: Polynome( dim(V) ist durch 4 Teilbar)
Das Minimalpolynom ist das normierte Polynom minimalen Grades, das noch eine Eigenschaft erfüllt, was ein Polynom kleineren Grades nicht mehr erfüllt.

Es gilt

M_F (F)= 0 und

M_F | P_F

Also das sind die Informationen die ich kenne.

Wir haben jetzt

p(t)=t^5-1

q(t)_1 = t-1

q(t)_2 = t^4+t^3+t^2+t+1

"Einen Tipp gebe ich dir noch: Der Grad des charakteristischen Polynoms ist gleich der Dimension des Vektorraums"

dim V = deg P_F =5

Für das Minimalpolynom muss ja gelten :

q(F)_2 = F^4 + F^3 + F^2 + F +id = 0

oder

q(F)_1 = F-id=0

Wenn ich beide q(F)_i betrachte für i=1,2 , kann ich ja nicht ganz beurteilen ob es 0 wird denn Ich weiß nicht wie F allgemein aussieht, weiß nur dass F ein Endomorphismus mit F^5=id ist, daraus haben wir ja unser p(t) gebildet und die normierten Teiler waren ja gegeben unsere q(t)_i .

Glaube denke zu kompliziert :///

05.05.2018, 21:50

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RE: Polynome( dim(V) ist durch 4 Teilbar)

Zitat:

dim V = deg P_F =5

Woher kommt das letzte Gleichheitszeichen?
Ich habe den Eindruck, du vermutest $\begin{eqnarray*} p(t)=t^5-1 \end{eqnarray*}$ wäre das charakteristische Polynom von F. Das ist es nicht. p ist ein Polynom, für das $\begin{eqnarray*} p(F)=0 \end{eqnarray*}$ gilt.
Du kannst zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} q_1(t) = t-1 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} q_1(F)\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Das steht letztlich in der Aufgabenstellung

06.05.2018, 11:15

doki1994

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RE: Polynome( dim(V) ist durch 4 Teilbar)
Hmm dachte da F ein Endomorphismus mit F^5=id ist können wir folgern, dass das gilt, somit das letzte Gleichheitszeichen.
Oder da man nicht weiß, wie F genau aussieht muss annehmen das es kleiner Gleich 5 ist ?

Ja habe das vermutet richtig.
Ich hab gedacht , das Charpolynom wird vom Minimalpolynom geteilt und nicht das es ein beliebiges Polynom teilt.

06.05.2018, 11:50

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RE: Polynome( dim(V) ist durch 4 Teilbar)
Ein Beispiel: $\begin{eqnarray*} V=\mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ und F ein beliebiger Endomorphismus von V. Der Grad das charakteristischen Polynoms von F ist gleich der Dimension von V also 3.
Jetzt sei F die Drehung um die z-Achse um den Winkel $\begin{eqnarray*} 2\pi/5 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} F^5=I \end{eqnarray*}$ .
Jetzt sei F die Drehung um die z-Achse um den Winkel $\begin{eqnarray*} pi \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} F^2=I \end{eqnarray*}$ .
Es gibt also keinen Zusammenhang zwischen dem Grad des charakteristischen Polynoms und dem Grad eines Polynoms, das von F annuliert wird.
Man weiß nur, dass es genau ein normiertes Polynom kleinsten Grades gibt, das von F annuliert wird (das nennt man Minimalpolynom). Dieses Minimalpolynom teilt jedes Polynom, das von F annuliert wird (das kann man leicht über Division mit Rest zeigen).
Im Fall der Drehung um den Winkel $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ bekommt man das Minimalpolynom quasi geschenkt: Die Teiler von $\begin{eqnarray*} t^2-1 \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} t-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t+1 \end{eqnarray*}$ und weil weder $\begin{eqnarray*} F-I \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} F+I \end{eqnarray*}$ Null sind, muss $\begin{eqnarray*} t^2-1 \end{eqnarray*}$ schon das Minimalpolynom sein.

In deiner Aufgabe ist es ganz ähnlich: Die Teiler von $\begin{eqnarray*} t^5-1 \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} t-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t^4+\ldots +1 \end{eqnarray*}$ . Weil $\begin{eqnarray*} F-I \end{eqnarray*}$ nicht Null ist, muss der andere Teiler das Minimalpolynom sein.
Das Minimalpolynom teilt das charakteristische Polynom von F und ein Blick auf den Grad der beiden Polynome liefert die Behauptung.

06.05.2018, 13:26

doki1994

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RE: Polynome( dim(V) ist durch 4 Teilbar)
Danke !!!

Eine andere Frage um zu sehen ob ich es verstanden habe :

Wenn man ein endlich dim VR hat und einen Endomorphismus F für das gilt :

F^3=F^2+2F

Man soll zeigen das F diagonalisierbar ist.

Also aus F^3-F^2-2F=0 kann Ich einen Polynom p wählen das von F annulliert wird also

p(F)=F^3-F^2-2F=0 somit gibt es ein p(t)=t^3-t^2-2t dies kann man in linearfaktoren zerlegen:

p(t)=t^3-t^2-2t= t(t-2)(t+1)

Wir wissen ja, wenn das Minimalpolynom von F einfache Nullstellen hat, so ist F diagonalisierbar.

Somit ist t(t-2)(t+1) ein Teiler des Charakteristischen Polynoms.

Hab ich es richtig verstanden , wenn man einen Endomorphismus F in irgendeiner Art gegeben hat, so kann eine Polynom p finden das von F annulliert wird und daraus ,das Minimalpolynom herausfinden und dies ist dann ein Teiler des Charpolynoms.

06.05.2018, 14:04

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RE: Polynome( dim(V) ist durch 4 Teilbar)

Zitat:

Wir wissen ja, wenn das Minimalpolynom von F einfache Nullstellen hat, so ist F diagonalisierbar.

Das ist wieder so eine schlampige Formulierung geschockt

Das Minimalpolynom muss auch noch vollständig in Linearfaktoren zerfallen.

Für die neue Fragestellung kommst du ohne das charakteristische Polynom aus: Du weißt, dass $\begin{eqnarray*} p(t)=t^3-t^2-2t= t(t-2)(t+1) \end{eqnarray*}$ von F annuliert wird. Also ist das Minimalpolynom ein Teiler von p. Weil p vollständig in einfache Linearfaktoren zerfällt, gilt dasselbe für das Minimalpolynom.

Zitat:

Somit ist t(t-2)(t+1) ein Teiler des Charakteristischen Polynoms.

Das kannst du aus dem Gegebenen nicht folgern. Du weißt nur, dass p von F annuliert wird. p kann ein Teiler des charakteristischen Polynoms sein, es kann auch umgekehrt sein, oder keines von beiden ist der Fall. Du weißt aber, dass p und das charakteristische Polynom einen gemeinsamen Teiler haben, nämlich das Minimalpolynom

Zitat:

wenn man einen Endomorphismus F in irgendeiner Art gegeben hat, so kann eine Polynom p finden das von F annulliert wird

Richtig, das nennt sich Satz von Cayley-Hamilton.

Zitat:

daraus ,das Minimalpolynom herausfinden

was in der Praxis beliebig kompliziert sein kann

Zitat:

und dies ist dann ein Teiler des Charpolynoms.

Richtig, das Minimalpolynom ist immer Teiler des charakteristischen Polynoms.

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