LGS lösen mit Parameter

04.05.2018, 20:39	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
LGS lösen mit Parameter Hallo zusammen, obwohl ich in LGS lösen ziemlich fit bin , bereitet mir folgende Aufgabe Schwierigkeiten: $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc\|c} a & 1 & 1 & 1\\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \end{array}\right) \end{eqnarray}$ Aber egal wie ich umforme , ich komme nur auf doofe Brüche : $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc\|c} a & 1 & 1 & 1\\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1\end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc\|c}<br /> a & 1 & 1 & 1\\<br /> 0 & a-\frac{1}{a} & 1-\frac{1}{a} & 1-\frac{1}{a} \\<br /> 0 & 1-\frac{1}{a} & a-\frac{1}{a} & 1-\frac{1}{a} <br /> \end{array}\right) \end{eqnarray}$ Bereits jetzt weiß ich nicht wie ich $\begin{eqnarray} a-\frac{1}{a} \end{eqnarray}$ mit einem anderen Term multipliziere, so dass $\begin{eqnarray} 1-\frac{1}{a} \end{eqnarray}$ herauskommt , natürlich könnte man eine Gleichung daraus machen, die endet aber immer unschön bei mir. HILFE !!! LG Snexx_Math
04.05.2018, 23:30	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LGS lösen mit Parameter Es geht auch ohne Brüche, subtrahiere die Zeilen: $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc\|c} a & 1 & 1 & 1\\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1\end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{ccc\|c}<br /> a & 1 & 1 & 1\\<br /> a-1 & -(a-1) & 0 & 0 \\<br /> 0 & a-1 & -(a-1) & 0 <br /> \end{array}\right) \end{eqnarray}$ in der Folge ist mit $\begin{eqnarray} a \neq 1 \end{eqnarray}$ x = y = z; bei a = 1 ist das LGS abhängig, und letztendlich ist bei a = -2 das LGS nicht lösbar. Und bitte: KEINE Hilferufe!! mY+
05.05.2018, 10:36	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: LGS lösen mit Parameter Erstmal sry wegen "HILFE" . Ich verstehe nicht , wie die obige Umformung also die Subtraktion der Zeilen mich weiterbringt. Ich würde ja gerne die Matrix in Zeilenstufenform bekommen, um die Lösung $\begin{eqnarray} x=y=z=\frac{1}{a+2} \end{eqnarray}$ zu erhalten. also sowas der Art: $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc\|c} a & x & y & z\\ 0 & s & t & u\\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{a+2}\end{array}\right) \end{eqnarray}$ wobei hier natürlich die die Einträge x,y,z,s,t,u für iwelche Terme oder Zahlen stehen. LG Snexx_Math
05.05.2018, 13:21	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss es denn unbedingt immer die Zeilenstufenform sein? Geht es denn nicht um die Lösung? Infolge der günstigen Parameter habe ich nach der ersten Umformung darauf verzichtet und erhalten: $\begin{eqnarray} (a-1)x - (a-1)y = 0 \ \to x = y \ [a \neq 1] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (a-1)y - y(a-1)z = 0 \ \to y = z \ [a \neq 1] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ Natürlich geht es auch mit der Zeilenstufenform und dabei wollen wir so lange wie möglich Brüche vermeiden.. Dazu vertausche zunächst die Reihenfolge der Zeilen: $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc\|c} 1 & 1 & a & 1\\ 1 & a & 1 & 1\\ a & 1 & 1 & \ 1 \end{array}\right) \end{eqnarray}$ Dann kommne die Zeilen (1), (2) - (1) und (3) - a(1) $\begin{eqnarray} \left(\begin{array}{ccc\|c} 1 & 1 & a & 1\\ 0 & a-1 & -(a-1) & 0\\ 0 & -(a-1) & -(a²-1) & \ 1-a \end{array}\right) \end{eqnarray}$ So, und wenn du noch die Zeile 2 zu 3 addierst, bist du am Ziel. Tipp: Die Matrix wird auf dem gleichen Weg umgeformt, wie wenn du das lGS konventionell mittels Additionsverfahren (Eliminationsverfahren) lösen würdest. ---------- Hinweis: $\begin{eqnarray} [(a-1) + (a²-1)]z = a-1 \end{eqnarray}$ dividiere durch $\begin{eqnarray} (a-1) \neq 0 \ \to \ (1 + a + 1)z = 1 \end{eqnarray*}$ mY+

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