Beweis der Umkehrung des Höhensatzes

04.05.2018, 21:49

Masso23

Beweis der Umkehrung des Höhensatzes

Meine Frage:
Hallo alle zusammen ich habe die Folgende Aufgabe.

Meine Ideen:
Wie könnte ich den Beweis führen? War leider letzte Woche nicht in der Vorlesung :/

04.05.2018, 22:13

mYthos

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Durch die Höhe zerfällt Das Dreieck in zwei kleinere rechtwinkelige Dreiecke.
Deren beide Winkel bei C seien $\begin{eqnarray*} \gamma_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma_2 \end{eqnarray*}$

Berechne von beiden Winkeln die Tangensfunktionen und verwende dann das Additionstheorem für den Tangens der Summe der beiden Winkel:

$\begin{eqnarray*} \tan(\gamma_1 + \gamma_2)=\frac{\tan \gamma_1 + \tan \gamma_2}{1 - \tan \gamma_1 \cdot \tan \gamma_2} \end{eqnarray*}$

Voraussetzung ist nun die Existenz und die Richtigkeit des Höhensatzes.
Der Zähler des Bruches ist nicht Null und falls der Nenner Null ist, ist $\begin{eqnarray*} \gamma = \frac{\pi} 2 \end{eqnarray*}$

----------------

Tipps: $\begin{eqnarray*} AH_c = q; \ BH_c = p; \ H_cC = h; \ \tan \gamma_1 = .. \ \tan \gamma_2 = ..<br /> \end{eqnarray*}$

mY+

04.05.2018, 22:15

Leopold

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Sollst du einen rechnerischen oder einen anschaulich-geometrischen Beweis führen?

Den Kehrsatz des Pythagoras kann man elementargeometrisch anschaulich folgendermaßen einsehen:

$\begin{align*} ABC \end{align*}$ sei rechtwinklig mit rechtem Winkel $\begin{align*} \gamma \end{align*}$ . Man zeichnet den Thaleskreis des Dreiecks. Von der Mitte der Hypotenuse zeichnet man eine Halbgerade durch den Punkt $\begin{align*} C \end{align*}$ . Läßt man nun $\begin{align*} C \end{align*}$ auf der Halbgeraden nach außen wandern, wird $\begin{align*} \gamma \end{align*}$ spitz und $\begin{align*} a^2 + b^2 > c^2 \end{align*}$ (weil $\begin{align*} a \end{align*}$ und $\begin{align*} b \end{align*}$ offensichtlich größer werden). Läßt man dagegen $\begin{align*} C \end{align*}$ nach innen wandern, wird $\begin{align*} \gamma \end{align*}$ stumpf und $\begin{align*} a^2 + b^2 < c^2 \end{align*}$ (weil $\begin{align*} a \end{align*}$ und $\begin{align*} b \end{align*}$ offensichtlich kleiner werden). Damit kann $\begin{align*} a^2 + b^2 = c^2 \end{align*}$ nur gelten, wenn $\begin{align*} \gamma \end{align*}$ ein rechter Winkel ist (sich ausschließende Fälle).

Bei einem alternativen Beweis konstruiert man zu einem Dreieck $\begin{align*} ABC \end{align*}$ mit $\begin{align*} a^2 + b^2 = c^2 \end{align*}$ ein weiteres Dreieck $\begin{align*} A'B'C' \end{align*}$ mit $\begin{align*} a' = a \end{align*}$ und $\begin{align*} b' = b \end{align*}$ sowie $\begin{align*} \gamma' = 90^{\circ} \end{align*}$ . In diesem Dreieck gilt nach Pythagoras $\begin{align*} {c'}^2 = {a'}^2 + {b'}^2 = a^2 + b^2 = c^2 \end{align*}$ . Es gilt also auc $\begin{align*} c' = c \end{align*}$ , und das rechtwinklige Dreieck $\begin{align*} A'B'C' \end{align*}$ erweist sich nach dem sss-Kongruenzsatz zu $\begin{align*} ABC \end{align*}$ als kongruent.

Hat man erst einmal den Kehrsatz des Pythagoras, kann man auch den Kehrsatz des Höhensatzes erhalten. Bezeichnen wir wie üblich mit $\begin{align*} p,q \end{align*}$ die Hypotenusenabschnitte und mit $\begin{align*} h \end{align*}$ die Hypotenusenhöhe, dann folgere aus $\begin{align*} pq = h^2 \end{align*}$ die Gleichung $\begin{align*} a^2 + b^2 = c^2 \end{align*}$ und verwende den Kehrsatz des Pythagoras. (Hinweis: Die Teildreiecke sind rechtwinklig, binomische Formel $\begin{align*} (p+q)^2 \end{align*}$ )

04.05.2018, 22:23

mYthos

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@Leopold
Ich habe die Aufgabe so verstanden, dass aus dem Höhensatz der rechte Winkel bei C zu beweisen ist.

mY+

04.05.2018, 22:32

riwe

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umkehrungen

05.05.2018, 00:58

Masso23

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Also ich denke es soll so bewiesen werden wie in der Vorlesung. In der Vorlesung wurde Beispielsweise die Umkehrung des Kathetensatzes wie folgt bewiesen. Siehe Bild.
Also unter Verwendung des Kathetensatzes.

05.05.2018, 15:19

Masso23

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Ich versuche mal einen Ansatz:

Es soll folgende Aussage bewiesen werden:

Aus $\begin{eqnarray*} H_{c}\in AB \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |AH_{c}| *|BH_{c}| =h_{c}^2 \end{eqnarray*}$
folgt $\begin{eqnarray*} \gamma= \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ .

Im Beweis soll ja der Höhensatz benutzt werden.
Also Sei $\begin{eqnarray*} H_{c}\in AB \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |AH_{c}| *|BH_{c}| =h_{c}^2 \end{eqnarray*}$ Gegeben.
.... hmm wie könnte ich weiter machen

05.05.2018, 21:10

mYthos

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Ich muss sagen, in deinem Unterricht zeigt man eine ziemlich eigenartige Beweisführung!

Du hast hier mehrere Beweisführungen angedacht bekommen, aber du bzw. dein Lehrer besteht ausgerechnet auf seinen eher eigenwilligen und engstirnigen Weg!
Warum muss es ausgerechnet dieser sein?

Dann bete in Gottes Namen den Beweis aus dem Kathetensatz nach, den kannst mit wenigen Änderungen leicht zu dem Höhensatz umstricken:

Sei B' € AB mit Winkel ACB' = 90° (pi/2)
Dann ist AB'C ein rechtwinkeliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei C
Nach dem Höhensatz in diesem Dreieck gilt

CHc² = AHc * HcB' [h² = p * q]; BB' € AB

HcB' = q AB' = AHc + HcB' = p + q = c

B = B'

mY+

05.05.2018, 22:15

Masso23

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Ohman Mythos das möchte ich doch nicht unglücklich

Ich gebe dir Recht. Meine Profosorin sammelt die Aufgaben ein und Bewertet diese und Sie ist sehr streng bei der Bewertung, deshalb wollte ich diese Methode anwenden. Von mir aus könnte ich einen anderen Beweis führen.

Der Beweis den du gemacht hast ist dieser der Beweis für die Umkehrung des Höhensatzes ?

05.05.2018, 22:33

mYthos

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Ja. Das sollte eigentlich zu erkennen sein!

mY+

06.05.2018, 13:51

Masso23

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Zitat:

Sei B' € AB mit Winkel ACB' = 90° (pi/2) Dann ist AB'C ein rechtwinkeliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei C Nach dem Höhensatz in diesem Dreieck gilt CHc² = AHc * HcB' [h² = p * q]; BB' € AB HcB' = q AB' = AHc + HcB' = p + q = c B = B'

Ende von Zeile 2: müsste es da nicht $\begin{eqnarray*} H_{c}^2 \end{eqnarray*}$ heißen anstatt $\begin{eqnarray*} CH_{c^2} \end{eqnarray*}$
In der letzten Zeile: HcB‘ = q AB‘ = AHc+ HcB‘ = p+q=c
Diese Verkettung von gleichheitszeichen verstehe ich leider nicht.
Ich will euch nicht auf die Nerven gehen, deshalb versuche ich es mal selber.

06.05.2018, 18:57

Kääsee

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Hallo, ich verfolge dieses Thema auch mit und hoffe, es ist ok, wenn ich mal antworte.
Verstehe nämlich die Zeile von mYthos auch nicht so recht und poste mal meinen Ansatz.
Ich denke schon, er hat $\begin{eqnarray*} h_c^2 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} CH_c^2 \end{eqnarray*}$ gemeint. Andererseits verstehe ich auch nicht, warum er mit verschiedenen Bezeichnungen (also einmal z.B. $\begin{eqnarray*} AH_c \end{eqnarray*}$ und einmal p) schreibt.
Ich würde es ganz einfach so machen:
Zunächst wie angenommen den Punkt B' mit dem rechten Winkel bei C.
Dann gilt mit Höhensatz ja
$\begin{eqnarray*} h_c^2=|AH_c| |H_cB'|=p(q+|BB'|) \end{eqnarray*}$
Andererseits weißt du aber auch nach Voraussetzung, dass
$\begin{eqnarray*} h_c^2=pq \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} p(q+|BB'|)=pq \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} q+|BB'|=q \end{eqnarray*}$ (für $\begin{eqnarray*} p\neq 0 \end{eqnarray*}$ )
$\begin{eqnarray*} |BB'|=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B=B' \end{eqnarray*}$

06.05.2018, 20:24

Leopold

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Wenn die Argumentation über den Kehrsatz des Pythagoras (siehe meinen vorigen Beitrag) nicht gewünscht ist, so kann man auch direkt einen Kongruenzbeweis für den Kehrsatz des Höhensatzes führen. Allen Beweisen liegt letztlich die Idee zugrunde, ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren, das sich mit dem gegebenen als kongruent erweist. Bei Kääsees Beweis steckt das in der Folgerung $\begin{align*} |BB'|=0 \end{align*}$ (wobei man allerdings besser $\begin{align*} q \pm |BB'| \end{align*}$ statt nur $\begin{align*} q + |BB'| \end{align*}$ schreiben sollte).

Bezeichnen wir standardmäßig die Seiten des Dreiecks $\begin{align*} ABC \end{align*}$ mit $\begin{align*} a,b,c \end{align*}$ , die Höhe auf $\begin{align*} c \end{align*}$ mit $\begin{align*} h \end{align*}$ und die durch $\begin{align*} h \end{align*}$ bestimmten Abschnitte auf $\begin{align*} c \end{align*}$ mit $\begin{align*} p \end{align*}$ (bei $\begin{align*} a \end{align*}$ anliegend) und $\begin{align*} q \end{align*}$ (bei $\begin{align*} b \end{align*}$ anliegend). Es gilt $\begin{align*} p+q=c \end{align*}$ . (Die Rollen von $\begin{align*} p,q \end{align*}$ sind gegenüber Kääsee getauscht, wie das üblich ist.)

Nun soll gezeigt werden, daß aus $\begin{align*} pq = h^2 \end{align*}$ die Rechtwinkligkeit von $\begin{align*} ABC \end{align*}$ bei $\begin{align*} C \end{align*}$ folgt.

Zu $\begin{align*} ABC \end{align*}$ konstruieren wir irgendwoanders ein weiteres Dreieck $\begin{align*} A'B'C' \end{align*}$ (die Bezeichnungen werden entsprechend $\begin{align*} ABC \end{align*}$ gewählt, alle mit einem Strich), und zwar mit $\begin{align*} p'=p, \ q'=q \end{align*}$ , also auch $\begin{align*} c'=c \end{align*}$ , und sorgen dafür, daß es bei $\begin{align*} C' \end{align*}$ einen rechten Winkel bekommt (das geht mit einem Thaleskreis zu $\begin{align*} c' \end{align*}$ ). Die Höhe $\begin{align*} h' \end{align*}$ ergibt sich durch Konstruktion. Wegen der Rechtwinkligkeit folgt nach dem Höhensatz:

$\begin{align*} {h'}^2 = p'q' \end{align*}$

Gemäß den Vorgaben für $\begin{align*} p' \end{align*}$ und $\begin{align*} q' \end{align*}$ und der Voraussetzung $\begin{align*} pq = h^2 \end{align*}$ folgt weiter:

$\begin{align*} {h'}^2 = pq = h^2 \end{align*}$

und somit

$\begin{align*} h' = h \end{align*}$

Folglich sind die beiden rechtwinkligen Dreiecke mit den Katheten $\begin{align*} q,h \end{align*}$ beziehungsweise $\begin{align*} q',h' \end{align*}$ kongruent, ebenso die rechtwinkligen Dreiecke mit den Katheten $\begin{align*} p,h \end{align*}$ beziehungsweise $\begin{align*} p',h' \end{align*}$ (jeweils nach dem sws-Kongruenzsatz). Aus diesen Kongruenzen folgt:

$\begin{align*} a'=a, \ b'=b \end{align*}$

Und da ja schon $\begin{align*} c'=c \end{align*}$ gilt, sind die Dreiecke $\begin{align*} A'B'C' \end{align*}$ und $\begin{align*} ABC \end{align*}$ kongruent (sss-Kongruenzsatz). Die Rechtwinkligkeit von $\begin{align*} A'B'C' \end{align*}$ überträgt sich somit auf $\begin{align*} ABC \end{align*}$ .

07.05.2018, 00:20

Masso23

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Hallo und danke an euch zwei.
Ich verstehe den Beweis von mythos und finde diesen auch richtig.

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Beweis der Umkehrung des Höhensatzes

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