Inverse einer Matrix

05.05.2018, 10:28	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Inverse einer Matrix Hallo zusammen, bei folgender Aufgabe benötige ich das Inverse der Matrix, tue mich damit aber schwer. Die Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} C= \Bigg \{ \begin{pmatrix} a & b\\ -b & a\end{pmatrix} \| a,b \in \mathbb R \Bigg \} \end{eqnarray}$ zu zeigen: Ist $\begin{eqnarray} A \in C\setminus\{0\} \end{eqnarray}$ ,so ist A invertierbar und $\begin{eqnarray} A^{-1} \in C \end{eqnarray}$ Ich denke , dass man , sobald man $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ bestimmt hat einfach sagen kann, dass alle Eintraäge von $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ wieder $\begin{eqnarray} \in \mathbb R \end{eqnarray}$ sind und $\begin{eqnarray} (A^{-1})_{11} = (A^{-1})_{22} \wedge (A^{-1})_{12} = - (A^{-1})_{21} \end{eqnarray}$ und somit folgt $\begin{eqnarray} A^{-1} \in C* \end{eqnarray*}$ , aber wie bestimme ich das Inverse der Matrix A ? Wir hatten da noch nie etwas zu gemacht. Und bei Matrizen sieht man das meiner Meinung nach nicht so leicht wie bei Gruppen oder Körpern. LG Snexx_Math
05.05.2018, 10:40	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse einer Matrix Es gibt explizite Formeln für das Inverse von Matrizen: $\begin{eqnarray} A^{-1} = \frac 1 { det A } adj(A) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} adj(A) \end{eqnarray}$ die Adjunkte von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ bezeichnet. Siehe Wiki.
05.05.2018, 10:44	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse einer Matrix Ok, danke erstmal Leider hatten wir Begriffe wie adjunkte Matrix und Determinanten noch nicht. Aber die transponierte Matrix hatten wir schon. Hilft das eventuell auch schon ?
05.05.2018, 15:04	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse einer Matrix Du kannst das Inverse auch durch das Lösen eines linearen LGS bestimmen. Sei $\begin{eqnarray} B = \begin{pmatrix} d & e \\ f & g \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Dann musst $\begin{eqnarray} d,e,f,g \end{eqnarray}$ so bestimmt werden, dass gilt $\begin{eqnarray} A B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Das sind dann 4 Gleichungen und 4 Variablen.

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