Basis der Polynome

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Masterblaster22 Auf diesen Beitrag antworten »
Basis der Polynome
Meine Frage:
Ahoi,

ich knoble gerade an der im Bild zu sehenden Aufgabe.

Meine Ideen:
Sowie ich das Ganze verstehe geht es ja hierbei darum zu einem linear unabhängigen Erzeugendensystem zu ergänzen. Bezüglich der linearen Unabhängigkeit, wäre diese gegeben wenn ich q4 x^2 und q5 als x^4 wähle? Wenn dem so ist wie würde ich das beweisen? Ich persönlich kann es mir gerade nur vorstellen, da wenn ich von q1, x^2 und x^4 durch das Skalar -1 abziehe, dann hätte ich letztendlich noch x+1 zusammen mit x-1 über. Aus diesen zweien könnte ich durch passende Skalare beliebige Polynome vom Grade 1 und 0 konstruieren. Was das Erzeugendensystem angeht steh ich gerade vollkommen auf dem Schlauch. Könnt ihr mir vielleicht etwas auf die Sprünge helfen?

Grüße,

Mb22
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

deine Wahl x^2 und x^4 ist weise! smile Der gegebene Vektorraum ist ja kanonisch isomorph zum , also kannst du ein Polynom auch schreiben als Vektor . Dann reduziert sich deine Aufgabe darauf zu zeigen, dass die entsprechenden Vektoren im |R^5 linear unabhängig sind. Weißt du, wie das geht (Matrix / Gauß-Verfahren, oder 'Determinantentrick')? Wenn du die lineare Unabhängigkeit von 5 Vektoren in einem bekannterweise 5-dimensionalen Vektorraum gezeigt hast, dann folgt automatisch nach einem Satz, dass sie auch ein Erzeugendensystem bilden. Wenn du den irgendwo aufstöbern kannst bzw. ihr den schon hattet, brauchst du das nicht extra zu zeigen. (Wäre ansonsten mit der Vektorschreibweise denke ich auch kein Problem, oder?)

LG
sibelius84
Masterblaster22 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort erst einmal! smile Also, es gilt die von mir genannten Funktionen als Vektoren zu schreiben und einfach das LGS zu lösen um auf ungleiche Skalare zu kommen woraus die linear Unabhängigkeit folgt? Ähnlich wie damals beim testen auf Parallelität von Richtungsvektoren?

Bezüglich des Satzes hatten wir die zwei hier:

1.) "Besitzt ein Vektorraum eine Basis aus n Vektoren, dann besitzt auch jede andere Basis des Vektorraums n Vektoren."

2.) "In einem n-dimensionalen Vektorraum bilden je n lineare unabhängige Vektoren eine Basis".

Wir hatten die kanonische Basis für K^N bereits als Beispiel in der Vorlesung, also gehe ich davon aus, dass ich deswegen schlicht annehmen darf R^5 hat die Dimension 5 und mit Satz 2. darauf schließen darf, dass somit meine fünf linear unabhängigen Vektoren eine Basis bilden. Ich frage mich hierbei nur eine Sache, kann ich einfach annehmen, dass der Raum der Polynome isomorph zu R^5 ist oder müsste ich da nicht noch etwas zeigen? Wenn ja, wie? Bisher haben wir uns dem Begriff der Isomoprhität nur kurz in der Vorlesung genährt aber noch keine Beispiele bewiesen.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es gilt die Polynome als Vektoren zu schreiben und das LGS zu lösen. "Ungleiche Skalare" verstehe ich nicht; es müsste herauskommen, dass alle Skalare gleich Null sind.

Satz 2 trifft ins Schwarze! smile

Es ist immer gut zu überlegen, ob man etwas wirklich so selbstverständlich annehmen darf. Eine Lösung besteht häufig darin, es zumindest mal eben zu erwähnen (ohne es im Einzelnen formal zu beweisen). Etwa so:

Offenbar ist linear, injektiv und surjektiv, also ein Isomorphismus, so dass es reicht, die lineare Unabhängigkeit der Bildvektoren mit zu zeigen.

(Mit Wörtern wie "offensichtlich", "offenbar", "trivial" ist immer Vorsicht geboten. Man sollte damit genau so vorsichtig umgehen, wie man sich von seinem Prof wünscht, dass er/sie es tut. Für solche Gelegenheiten bietet sich die Verwendung der Begriffe aber unmittelbar an Augenzwinkern )
Masterblaster22 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, ja das mit den ungleichen Skalaren ist natürlich Schmarrn. Weiß auch nicht mehr was ich mir da gestern Abend gedacht hatte. Ich habe nun das LGS

1a+1b+0c+0d+0e+0f=0
1a+0b+1c+0d+0e+0f=0
1a+0b+0c+1d+0e+0f=0
1a+0b+0c+0d+1e+1f=0
1a+0b+0c+0d+1e-1f=0

aufgestellt und für alle Skalare null heraus bekommen. Mit dem Isomoprhismus und Satz 2 wäre meine Arbeit hier ja eigentlich getan. Passend dazu habe ich auch einen Satz in unserem Skript aufgestöbert (siehe Bild), der mir anscheinend in der Vorlesung selbst durch die Lappen ging. Damit dürfte ich ja ohne weiteres den Isomoprhismus voraussetzen dürfen ohne, dass mir das irgendwie angekreidet wird. Vielen Dank für deine mehr als kompetente Hilfe! smile
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso hast du 6 Koeffizienten? verwirrt Es sind doch nur 5 Vektoren!
 
 
Masterblaster22 Auf diesen Beitrag antworten »

Weil ich doof bin. Ich hatte noch das mit dem Polynome des 0. und 1. Grades konstruieren im Kopf und hatte gedankenlos noch den Vektor (0,0,0,1,1) hinzugefügt, aber diese kann man ja mit den 5 bereits schon vorhandenen konstruieren. Danke, dass du mich sogar noch zusätzlich auf meine Leichtsinnsfehler aufmerksam machst smile
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