Zusammenhängende Menge

06.05.2018, 10:55

Mathestudent500

Zusammenhängende Menge

Hallo,
es geht um die Entscheidung, ob folgener Menge im euklidischen Raum zusammenhängend oder wegzusammenhängend ist:

$\begin{eqnarray*} X= \{(x,y) \in R^2 : y cos x = sin x\} \end{eqnarray*}$

Sie ist zusammenhängend, da für $\begin{eqnarray*} cos x \ne 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} tan x = \frac{sin x}{cos x} \end{eqnarray*}$
die Urbildmenge folgende ist:

$\begin{eqnarray*} \mathbb R \setminus { k \pi + \frac{\pi}{2} : k \in \mathbb Z } \end{eqnarray*}$

Das sind ja jeweils offene Rechtecke. Diese sind ja zusammenhängend. Das Bild unter einer stetigen Abbildung $\begin{eqnarray*} tan x = \frac{sin x}{cos x} \end{eqnarray*}$ ist dann auch zusammenhängend.

Ist das so ok?

06.05.2018, 19:12

sibelius84

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Mathestudent500,

nein, leider nicht. Du solltest beachten, dass der Tangens aufgrund seiner Definition immer bei den Nullstellen des Cosinus Definitionslücken hat. (In der gegebenen Menge X hat man zwar mit dem Cosinus multipliziert, so dass man pi/2 und so etwas jetzt einsetzen 'dürfte'; für solche x steht da aber 0=+/-1, also gehören die Punkte auch hier nicht dazu.)

Damit kann man zeigen, dass die Menge X nicht zusammenhängend ist. Ist dir klar, warum sie dann nicht wegzusammenhängend sein kann?

LG
sibelius84

06.05.2018, 19:33

Mathestudent500

Auf diesen Beitrag antworten »

Noch nicht ganz unglücklich

Wenn sie nicht zusammenhängend ist, ist sie auch nicht wegzusammenhängend. Das ist klar
Aber wie zeigt man, dass sie nicht zusammenhängend ist?
Nur eine Frage:
Wäre der Defintionsbereich des Tangens für jedes k, also so ein offenes Rechteck, eine zusammenhängende Menge?

06.05.2018, 23:18

sibelius84

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das schon. Aber die einzelnen Äste sind Zusammenhangskomponenten, der Graph insgesamt ist als solches nicht zusammenhängend. Zu zeigen, dass eine Menge nicht zusammenhängend ist, kann etwas diffizil sein. Intuitiv müsste das Argument lauten - nehmen wir uns als Beispiel mal die Stelle pi/2 -, dass, wenn der Graph zusammenhängend wäre, er an irgendeiner Stelle die Gerade x=pi/2 überqueren müsste. Es ist aber (für mich gerade) schwierig, dies unmittelbar aus der Definition herauszuholen. Der wikipedia-Artikel
https://de.wikipedia.org/wiki/Zusammenh%C3%A4ngender_Raum
liefert ein paar äquivalente Kriterien. Du könntest dir zum Beispiel den (von dir korrekt als zusammenhängend erkannten) Hauptast des Tangens auf (-pi/2,pi/2) nehmen und zeigen, dass der sowohl (relativ) abgeschlossen als auch (relativ) offen in X ist. Daraus würde folgen, dass der Raum nicht zusammenhängend ist.

Wenn man sich nun einmal überlegt, warum die Existenz einer nichttrivialen offenen und zugleich abgeschlossenen Menge A nun implizieren soll, dass der Raum nicht zusammenhängend ist, kommt man auf Folgendes: A abgeschlossen => $\begin{eqnarray*} A^C \end{eqnarray*}$ offen => $\begin{eqnarray*} X=A\stackrel{.}\cup A^C \end{eqnarray*}$ lässt sich als disjunkte Vereinigung zweier nichtleerer offener Mengen schreiben, ist also nicht zusammenhängend. Daher könnte man nun direkt mit der Definition auch Folgendes versuchen:
Sei $\begin{eqnarray*} X_1:=\{(x,y)\in X\,\vert\, x<0\} \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} X_2:=\{(x,y)\in X\,\vert\, x>0\} \end{eqnarray*}$ . Dann sind beide Mengen nichtleer und (relativ) offen in X, und $\begin{eqnarray*} X=X_1\stackrel{.}\cup X_2 \end{eqnarray*}$ . Also ist X nicht zusammenhängend.

06.05.2018, 23:59

MatheStudent500

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sibelius für deinen Ansatz smile

Wäre ich wohl nie darauf gekommen smile

Vielen Dank smile

07.05.2018, 10:32

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sibelius84
Intuitiv müsste das Argument lauten - nehmen wir uns als Beispiel mal die Stelle pi/2 -, dass, wenn der Graph zusammenhängend wäre, er an irgendeiner Stelle die Gerade x=pi/2 überqueren müsste.

Das ist ja eher das, was man als (nicht) wegzusammenhängend bezeichnen würde.

Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nicht zusammenhängend ist, kann man (wie du vorgeschlagen hast) eine Teilmenge (die nicht-leer und nicht der ganze Raum ist) angeben, die offen und abgeschlossen ist.

Oder man zerlegt in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ in zwei disjunkte, nicht-leere offene Teilmengen:

Zitat:

Original von sibelius84
Daher könnte man nun direkt mit der Definition auch Folgendes versuchen:
Sei $\begin{eqnarray*} X_1:=\{(x,y)\in X\,\vert\, x<0\} \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} X_2:=\{(x,y)\in X\,\vert\, x>0\} \end{eqnarray*}$ . Dann sind beide Mengen nichtleer und (relativ) offen in X, und $\begin{eqnarray*} X=X_1\stackrel{.}\cup X_2 \end{eqnarray*}$ .

Das funktioniert nicht; es ist $\begin{eqnarray*} (0,0)\in X \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} (0,0)\not\in X_1\cup X_2 \end{eqnarray*}$ .
Man muss $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ an einer Stelle "trennen", an der die Tangens-Funktion eine Polstelle hat.
Z.B. $\begin{eqnarray*} X_1=\{(x,y)\in X\mid x<\frac \pi 2\}, X_2=\{(x,y)\in X\mid x>\frac \pi 2\} \end{eqnarray*}$ .

07.05.2018, 11:51

sibelius84

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. sin(0) ist 0, aber cos(0) nicht. Ups

Neue Frage »

Antworten »

Zusammenhängende Menge

Verwandte Themen