Konjugation von Permutationen

06.05.2018, 15:00	FelNa1109	Auf diesen Beitrag antworten »
Konjugation von Permutationen Ich hab Probleme mit folgender Aufgabe: (a) Zeigen Sie, ist $\begin{eqnarray} p=\left(a_1 a_2 ... a_l\right) \in S_n \end{eqnarray}$ eine zyklische Permutation und ist $\begin{eqnarray} \sigma \in S_n \end{eqnarray}$ , so ist: $\begin{eqnarray} \sigma \circ p \circ \sigma^{-1} =\left(\sigma (a_1) ... \sigma (a_l)\right) \end{eqnarray}$ (b) $\begin{eqnarray} a_1, ..., a_k \in S_n \end{eqnarray}$ seien zyklische Permutationen mit paarweise disjunkten Trägern und mit $\begin{eqnarray} ord(a_1) \geq ord(a_2) \geq ... \geq ord(a_k) \end{eqnarray}$ ; ebenso seien $\begin{eqnarray} b_1, ..., b_l \in S_n \end{eqnarray}$ zyklische Permutationen mit paarweise disjunkten Trägern und mit $\begin{eqnarray} ord(b_1) \geq ord(b_2) \geq ... \geq ord(b_l) \end{eqnarray}$ ; es sei $\begin{eqnarray} \phi = a_1 \circ ... \circ a_k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \psi = b_1 \circ ... \circ b_l \end{eqnarray}$ Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \psi \end{eqnarray}$ sind genau dann konjugiert, wenn $\begin{eqnarray} k=l \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} ord(a_i) = ord(b_i) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i=1, 2, ..., k \end{eqnarray}$ ist. Meine Ideen kommen wie immer ins erste Kommentar, damit die Aufgabenstellung übersichtlich bleibt. Ich hoffe auf Hilfe und Dankeschön
06.05.2018, 15:23	FelNa1109	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Ideen: Zur (a) hab ich das jetzt einfach versucht nachzurechnen. Ich wollte zuerst mittels $\begin{eqnarray} \sigma^{-1} \end{eqnarray}$ die Urbilder finden, darauf dann $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ anwenden und $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ müsste dann die Elemente wieder auf die Bilder schicken: $\begin{eqnarray} \sigma \circ p \circ \sigma^{-1} \end{eqnarray}$ angewendet auf ein $\begin{eqnarray} a_i \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} i \in 1, ..., l \end{eqnarray}$ ergibt: $\begin{eqnarray} \left( \sigma \circ p \circ \sigma^{-1}\right)\left(a_i\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\left( \sigma \circ\left(a_1 ... a_l\right)\circ \sigma^{-1}\right)\left(a_i\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sigma \left( \left(a_1 ... a_l\right) \left( \sigma^{-1}\left(a_i\right) \right)\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sigma \left( \left(a_1 ... a_l\right) \left( \sigma^{-1}\left(\sigma\left( a_{i-1}\right) \right) \right)\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sigma \left( \left(a_1 ... a_l\right) \left(a_{i-1} \right)\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \sigma \left( a_i\right) \end{eqnarray}$ Zur (b) hab ich leider noch nichts...

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