Fast sichere Konvergenz Beweis

06.05.2018, 16:46	BorelCantelli	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast sichere Konvergenz Beweis Meine Frage: Hallo, Ich soll diese Aussage hier beweisen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty } P( \|X_{n} - X \| > \epsilon) <\infty \Rightarrow X_{n} \Rightarrow f.s X \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe mit der Aussage von Borel einen Ansatz: Definiere $\begin{eqnarray} A_{n}= {\|X_{n} - X \| > \epsilon } \end{eqnarray}$ Dann gilt ja nach Borel $\begin{eqnarray} P( \lim sup_{n \to \infty } A_{n}) = 0 \end{eqnarray}$ Außerdem gilt $\begin{eqnarray} \lim sup_{n \to \infty } A_{n} \subset sup_{k\geq n} A_{n} \end{eqnarray}$ So jetzt bin ich mir unsicher..gilt dann auch direkt: $\begin{eqnarray} P( \lim sup_{n \to \infty } A_{n}) = 0 \Rightarrow \lim_{n \to \infty } P(sup_{k\geq n} A_{n} ) = 0 ? \end{eqnarray}$ Würde die Obermenge gegen Null gehen dann die Teilmenge sowieso..aber hier geht ja die Teilmenge gegen Null,deswegen glaub ich nicht dass man das direkt für die Obermenge behaupten kann.. Hoffe jemand kann mir helfen ! LG
10.05.2018, 13:18	BorelCantelli	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fast sichere Konvergenz Beweis Wirklich keiner ? :/
10.05.2018, 13:38	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich nehme an, das soll für alle $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ gelten? Dein Ansatz ist schon ganz richtig. Für $\begin{eqnarray} \omega\in (\limsup A_n)^c \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \omega\in A_n \end{eqnarray}$ nur für endlich viele $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ . Setze $\begin{eqnarray} A_\epsilon := (\limsup A_n)^c \end{eqnarray}$ für fixiertes $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ . Überleg dir jetzt, dass $\begin{eqnarray} A := \bigcap_{m\in\mathbb N}A_{\frac 1m} \end{eqnarray}$ eine Menge mit vollem Maß ist, auf der $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ konvergiert.
10.05.2018, 13:49	BorelCantelli	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ja genau für epsilon bel. Erstmal danke ! Hm,d.h es gibt ein k , ab dem es dann für alle n gilt..aber so ganz genau weiß ich da jetzt irgendwie auch nicht weiter
10.05.2018, 13:51	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann denk doch noch etwas länger über den Tipp nach
13.05.2018, 18:00	BorelCantelli	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey ! Ich hab mal jetzt was versucht mit deinem Tipp.. $\begin{eqnarray} P(A)=P(\cap _{m\in \mathbb N } A_{1/m} )<br /> =P(\cap _{m\in \mathbb N } \|X_n - X \| < \frac{1}{m} ) =\prod_{m=1}^{\infty} P( \|X_n - X\| < \frac{1}{m}) \leq \frac{1}{m^2}\rightarrow 0 \end{eqnarray}$ Macht das Sinn?
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13.05.2018, 18:35	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ergibt keinen Sinn. Die Namensgebung von $\begin{eqnarray} A_\epsilon \end{eqnarray}$ war zugegebenermaßen etwas ungünstig. Also nochmal von vorn. Für $\begin{eqnarray} \epsilon, n \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} A_n^\epsilon := \{\|X_n-X\|>\epsilon\} \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} B_\epsilon := (\limsup_{n\to\infty}A_n^\epsilon)^c \end{eqnarray}$ . Nach Borell-Cantelli gilt $\begin{eqnarray} P(B_\epsilon) = 1 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ . Setze $\begin{eqnarray} B := \bigcap_{m\in\mathbb N}B_{\frac 1m} \end{eqnarray}$ . Zeige: $\begin{eqnarray} P(B) = 1 \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} \omega\in B \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} X_n(\omega)\to X(\omega) \end{eqnarray}$ .
14.05.2018, 00:45	BorelCantelli	Auf diesen Beitrag antworten »
Also noch ein Versuch..Ich hoffe das klappt jetzt einigermaßen :/ $\begin{eqnarray} B:=\bigcap_{m\in \mathbb{N}}^{ }B_\frac{1}{m} = \bigcap_{m\in \mathbb{N}}^{ }\left \{ \textup{lim sup}_{n\rightarrow \infty} \|X_n-X\| \leq \frac{1}{m}\right \}<br /> \\<br /> \textup{Es gilt }P(\textup{lim sup}_{n\rightarrow \infty} \|X_n-X\| \leq \frac{1}{m})=1. \\<br /> \textup{Wenn jetzt }\omega \in B \textup{ muss gelten }\textup{lim sup}_{n\rightarrow \infty} \|X_n(w)-X(w)\| \leq \frac{1}{m} \forall m \in \mathbb{N} \textup{ d.h es gilt } \\<br /> \textup{lim sup}_{n\rightarrow \infty} \|X_n(w)-X(w)\| \leq \epsilon \textup{ fuer bel. epsilon}<br /> \Rightarrow P(B)=1. \Rightarrow P(\textup{lim }_{n\rightarrow \infty} X_n(w)=X(w) )=1. \end{eqnarray}$

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