Multiplikative funktion Identität

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Knolle133 Auf diesen Beitrag antworten »
Multiplikative funktion Identität
Meine Frage:
Sei f von N>0 -> N eine streng monotone steigende multiplikative Funktion. Mit f (2)=2 zeige f (n)=n

Meine Ideen:
Erstmal denke ich mir müsste es nicht von N>0 nach N>0 sein sonst könnte ich doch f(1)=0 setzen. Ich denke mal das hier N={0, 1, 2..} definiert ist ohne das N in der Veranstaltung definiert wurde sonst würde ja nicht überall N>0 stehen. Sonst sind doch alle Voraussetzungen erfüllt und damit würde die Behauptung nicht stimmen. Wenn die Abbildung so gemeint ist wie ich meine dann dachte ich per Induktion IA: ist klar aber IS da habe ich dann f (n+1) und dann bräuchte ich ja additivität ich weiss nicht wie ich mit multiplikativität hier weiter mache.

Danke
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Dein "Gegenbeispiel" birgt den Widerspruch
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Eine zahlentheoretische Funktion heißt multiplikativ, wenn für teilerfremde Zahlen und stets gilt und nicht verschwindet, was äquivalent zu ist.
Knolle133 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke, das verstehe ich. Habt ihr einen Tipp wie ich dann die Identität zeige? Ich habe es wie gesagt mit Induktion probiert, aber beim I.S fehlt mir eine Idee um weiter zu kommen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mir mal Gedanken gemacht, wie der Beweis gehen könnte, und zwar in folgenden Schritten:

(1) Man zeigt .

(2) Man zeigt, dass aus für eine ungerade Primzahl die Existenz einer Primzahl mit ebenfalls folgt.

(3) Eigenschaften (1)+(2) zusammen liefern eine streng monoton wachsende Folge von Primzahlen mit . Aufgrund der strengen Monotonie bleibt dann nur für alle übrig.


(2) geht relativ einfach, wenn man den Satz von Bertrand-Tschebyscheff benutzen darf.

Das unscheinbare (1) bereitet fast noch die größte Mühe: Man nutzt dazu mehrfach die aus der strengen Monotonie sowie dem Wertebereich der Funktion folgende Eigenschaft

für alle . (*)

Für folgt dann nämlich


,

und somit , umgestellt . Und letzteres erfordert zwingend , und damit .



EDIT: (2) geht auch elementarer nachzuweisen, unter Nutzung der Beweisidee vom Euklidbeweis zur Unendlichkeit der Primzahlmenge.


EDIT2: Funkstille beim Fragesteller... Naja, Abgabeschluss in Bielefeld ist ja auch erst Freitag vormittag.
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