Stetigkeit einer linearen Abbildung (Polynomraum)

07.05.2018, 18:31	Croomer	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit einer linearen Abbildung (Polynomraum) Meine Frage: Entscheiden Sie, ob die folgenden linearen Abbildungen T: E -> E auf einem normiertem Raum E stetig sind und berechnen Sie gegebenenfalls die Operatornorm. b) $\begin{eqnarray} T: P\left[0,1\right] \rightarrow P\left[0,1\right]; (Tp)(x):=p(x+1) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \in \left[0,1\right] \end{eqnarray}$ und alle $\begin{eqnarray} p \in P \end{eqnarray}$ Hierbei ist P[0,1] der Raum aller Polynome $\begin{eqnarray} p:[0,1]\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray}$ versehen mit der Supremumsnorm. Meine Ideen: Ich würde gerne zeigen, dass T beschränkt ist, denn dann ist T auch stetig. Ich habe also versucht das ganze mal anders darzustellen: $\begin{eqnarray} p(x)=\sum\limits_{k=1}^{n} \lambda_k x^k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p(x+1)=\sum\limits_{k=1}^{n} \lambda_k (x+1)^k = \sum\limits_{k=1}^{n} \lambda_k \sum\limits_{i=1}^{k} \begin{pmatrix} k \\ i \end{pmatrix} x^i 1^{(k-i)} = \\ \sum\limits_{k=1}^{n} \lambda_k (\sum\limits_{i=1}^{k-1} \begin{pmatrix} k \\ i \end{pmatrix} x^i {(k-i)}+\begin{pmatrix} k \\ k \end{pmatrix} x^k) = \sum\limits_{k=1}^{n} \lambda_k x^k + \sum\limits_{k=1}^{n} \lambda_k \sum\limits_{i=1}^{k-1}\begin{pmatrix} k \\ i \end{pmatrix}x^i \end{eqnarray}$ Kann ich dann $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} \lambda_k\sum\limits_{i=1}^{k-1}\begin{pmatrix} k \\ i \end{pmatrix}x^i < n(n-1)\sum\limits_{k=1}^{n} \lambda_k x^k \end{eqnarray}$ irgendwie Abschätzen, sodass ich p(x+1)<C p(x) erhalte? Wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte.
07.05.2018, 19:30	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Croomer, ich vermute, dass dein Operator nicht stetig ist. Denn betrachte etwa mal p(x)=x^n. Das hat Supremumsnorm 1. Aber p(x+1)=(x+1)^n hat Supremumsnorm 2^n. LG sibelius84
07.05.2018, 19:50	Croomer	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann würde $\begin{eqnarray} \|\|Tp(x)\|\|_{\infty } = 2^n > 1 = \|\|p(x)\|\|_{\infty } \end{eqnarray}$ gelten. Aber gilt nicht auch $\begin{eqnarray} \|\|Tp(x)\|\|_{\infty } = 2^n \leq 2^n 1 = \|\|p(x)\|\|_{\infty } ; C=2^n \end{eqnarray}$ ? Damit hätte ich doch ein C gefunden, sodass T beschränkt ist. Und wie ich es schreibe, fällt mir auf: n kann beliebig groß werden, da ich ja ein beliebiges Polynom wählen darf. Dann kann ich das Spiel spielen, wo du mir ein beliebiges C nennst und ich mir das Polynom $\begin{eqnarray} p(x)=x^n \end{eqnarray}$ aussuche, sodass $\begin{eqnarray} 2^n > C \end{eqnarray}$ gilt. Also gibt es keine Konstante C, die $\begin{eqnarray} \|\|Tp(x)\|\|_{\infty} = \|\| (x+1)^n \|\|_{\infty} = 2^n \leq C = \|\|x^n\|\|_{\infty}=\|\|p(x)\|\|_{\infty} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ erfüllt und folglich kann T nicht stetig sein. Würde das als Beweis genügen?
08.05.2018, 22:28	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hört sich sehr gut an! "Zu C>0 wähle n € \|N mit 2^n>C und betrachte p(x):=x^n. Dann..."
08.05.2018, 22:30	Croomer	Auf diesen Beitrag antworten »
Spitze, vielen Dank. Wer weiß wie lange ich rumprobiert hätte, bis ich gemerkt hätte, dass die Abbildung nicht stetig ist.

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