Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge

08.05.2018, 14:13	lucabla	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge Meine Frage: Hey, es geht darum, zu beweisen, dass diese Funktionenfolge gleichmäßig gegen f: [0,1]-> R, f stetig, konvergiert: $\begin{eqnarray} p_n: [0,1]\rightarrow R, p_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot f(\frac{n}{k})\cdot x^k\cdot (1-x)^{n-k} \end{eqnarray}$ . In der Aufgabe standen außerdem noch folgende Hinweise: 1. $\begin{eqnarray} f(x)-p_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot (f(x)-f(\frac{n}{k}))\cdot x^{n-k}\cdot (1-x)^k \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot (x-\frac{k}{n})^2\cdot x^k\cdot (1-x)^{n-k} =\frac{x(1-x)}{n} \end{eqnarray}$ 3. Für alle $\begin{eqnarray} \delta>0:\lbrace 0,...,n\rbrace=\lbrace k\in\lbrace 0,...,n\rbrace: \|x-\frac{k}{n}<\delta\|\rbrace\cup\lbrace k\in\lbrace 0,...,n\rbrace: \|x-\frac{k}{n}\geq\delta\rbrace \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Gleichmäßige Konvergenz bedeutet ja $\begin{eqnarray} \forall\epsilon \exists N \forall x\in [0,1] \forall n\geq N: \|f(x)-p_n(x)\|<\epsilon \end{eqnarray}$ . Was \|f-p_n\| ist, steht ja in den Hinweisen, wie ich jedoch die anderen beiden Hinweise in irgendeiner Weise damit in Verbindung bringen könnte, ist mir nicht klar (generell wirkt das weniger wie eine Matheaufgabe, sondern mehr wie ein Puzzle, wo ich irgendwie diese drei Hinweise kombinieren soll...)
08.05.2018, 14:33	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Wenn $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ definiert ist, ist $\begin{eqnarray} f\left(\frac nk\right) \end{eqnarray}$ undefiniert für $\begin{eqnarray} n>k \end{eqnarray}$ . Vielleicht meinst du $\begin{eqnarray} \frac kn \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} \frac nk \end{eqnarray}$ . Hast du bisher die drei Hinweise denn schon gezeigt oder bist du dir sicher, dass du diese ohne Beweis verwenden darfst? Ansonsten fängt man bei gleichmäßiger Konvergenz am besten mit der Wahl eines beliebigen $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ an. Sei $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ gleichmäßig stetig ist, gibt es $\begin{eqnarray} \delta>0 \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(y)\|<\epsilon \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} \|x-y\|<\delta \end{eqnarray}$ . Jetzt versuche $\begin{eqnarray} \left\|f(x)-f\left(\frac kn\right)\right\| \end{eqnarray}$ abzuschätzen je nachdem, ob der Abstand der Funktionswerte kleiner oder größer/gleich $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ ist.
08.05.2018, 18:48	lucabla99	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, vielen Dank für die schnelle Antwort. Zunächst einmal: Ja, ich darf diese Aussagen so verwenden und Du hast recht mit $\begin{eqnarray} f(\frac{n}{k} \end{eqnarray}$ - ich habe den Tippfehler vom Übungsblatt fälschlicherweise übernommen. Gleichmäßige Stetigkeit! Daran habe ich in dem Moment nicht gedacht, aber das ist wohl eine sehr wichtige Erkenntnis hier. Die Abschätzung für $\begin{eqnarray} \|x-\frac{k}{n}<\delta \end{eqnarray}$ (also die einfachere...) habe ich jetzt. Nur bei der anderen weiß ich nicht so ganz, wie ich ansetzen soll. Es muss ja was mit dem zweiten Hinweis zu tun haben, also muss ich $\begin{eqnarray} f(x)-f(\frac{k}{n} \end{eqnarray}$ irgendwie mit $\begin{eqnarray} \|x-\frac{k}{n}\|^2 \end{eqnarray}$ in Verbindung bringen - aber wie? Falls das wirklich so ist - der Rest vom Beweis ist dann ja nur zu sagen, dass man n unabhängig von x so groß wählen kann, dass $\begin{eqnarray} f(\frac{x(1-x)}{n}<\epsilon \end{eqnarray}$ ist, woraus ja die gleichmäßige Konvergenz folgt.
08.05.2018, 18:54	lucabla99	Auf diesen Beitrag antworten »
Am Ende natürlich $\begin{eqnarray} \frac{x(1-x)}{n}<\epsilon \end{eqnarray}$ , ohne das f
08.05.2018, 22:56	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, für die andere Abschätzung kannst den Bruch $\begin{eqnarray} \frac{(x-\frac kn)^2}{\delta^2} \end{eqnarray}$ hinzufügen.
09.05.2018, 17:33	lucabla99	Auf diesen Beitrag antworten »
Was genau meinst Du mit 'hinzufügen'?
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09.05.2018, 19:57	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ihn einfach als Faktor noch mit dazuschreiben und dadurch eine Abschätzung nach oben erhalten.

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